Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.2. Partielle Integration 213
Lösung 11.2.5. Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
a. warsinh(w)− √ √
1+w 2 +C
3 3
c.
2 γ 2 (ln(γ)− 3 2 )+C
x
b. 2
4 (2ln(x)+1)+C d. ln(x)(ln(ln(x))−1)+C
Lösung 11.2.6. In beiden Fällen beträgt der Flächeninhalt der überstrichene Fläche ab
2
τ. Er
ist unabhängig vom Start- und Endpunkt des Körpers auf der Bahn.
Rekursionsformeln zur Integration
Mehrmalige partielle Integration lässt sich durch Aufstellen einer Rekursionsformel vereinfachen.
Beispiel 11.2.4. Wir betrachten das Integral
∫
I n (x) =
wobei n ∈ N. Nun setzen wir:
x n e x dx,
Dann ergibt sich
∫
u = x n und v ′ = e x
u ′ = nx n−1 und v = e x
∫
x n e x dx = x n e x −n
x n−1 e x dx.
Mit dieser Formel wird das Integral I n auf das Integral I n−1 (x) = ∫ x n−1 e x dx zurückgeführt.
Wir erhalten die Rekursionsformel
∫
I n (x) = x n e x −nI n−1 (x) wobei n ≥ 1 und I 0 (x) = e x dx = e x +C,
und C ∈ R ist eine Integrationskonstante.
Anwendung der Rekursionsformel: Wir berechnen
∫
I 3 (x) = x 3 e x dx
(∫ )
= x 3 e x −3 x 2 e x dx
( ∫ )
= x 3 e x −3 x 2 e x −2 xe x dx
( ( ∫ ))
= x 3 e x −3 x 2 e x −2 xe x − e x dx
= x 3 e x −3 ( x 2 e x −2(xe x −e x +C 1 ) )
= x 3 e x −3x 2 e x +6xe x −6e x +C,
wobei C = 6C 1 mit C ∈ R eine neue Integrationskonstanten ist. Beim Anwenden der Rekursionsformel
ist es wichtig, dass wir genau überblicken, wann wir mit der Rekursionsformel
aufhören müssen und wie das letzte Integral aussieht. Dieses lässt sich oft nicht in der gleichen
Art auflösen wie die vorhergehenden Integrale. Oft ist es ein Grundintegral (vgl. Tafel B.1 im
Anhang).