Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.9. Variation der Konstanten 367
der Funktion y in die inhomogene Differenzialgleichung. Zuerst müssen wir unseren
Lösungsansatz nach x differenzieren
y ′ (x) = C ′ (x)e −∫ f(x)dx +C(x)(−f(x))e −∫ f(x)dx
und dann in die inhomogene Differenzialgleichung einsetzen
y ′ (x)+f(x)y(x) = C ′ (x)e −∫ f(x)dx +C(x)(−f(x))e −∫ f(x)dx +f(x)C(x)e −∫ f(x)dx
Also folgt
respektive
= s(x).
C ′ (x)e −∫ f(x)dx = s(x),
C ′ (x) = s(x)e∫
f(x)dx
.
Eine erneute Integration liefert uns die Funktion
∫
C(x) = f(x)dx
s(x)e∫
dx+D,
wobei D ∈ R erneut eine Konstante darstellt. Die allgemeine Lösung lautet somit
(∫ )
y(x) = e −∫ f(x)dx f(x)dx
s(x)e∫
dx+D
∫
= De −∫ f(x)dx +e −∫ f(x)dx f(x)dx
s(x)e∫
dx.
Wir stellen also fest, dass sich die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichung
erster Ordnung
1. aus der allgemeinen Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung und
2. aus einer partikulären Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichung
zusammensetzt. Wir werden später sehen, dass dies bei allen linearen Differenzialgleichungen
beliebiger Ordnung ein allgemeines Prinzip ist. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung
bezeichnen wir mit y h und die inhomogene mit y p .
Beispiel 21.9.1. Wir betrachten die lineare Differenzialgleichung erster Ordnung
y ′ +y = x
und identifizieren sofort die Störfunktion s(x) = x.
1. Nun suchen wir die Lösung der homogenen Differenzialgleichung y ′ + y = 0 durch
Separation. Also folgt
dy
y = −dx
und durch Integration erhalten wir die implizite Lösung
welche nach
ln(|y|) = −x+C 1 ,
y h (x) = e −x+C 1
= e C 1
e −x = Ce −x
aufgelöst, die Lösung der homogenen Differenzialgleichung darstellt. Es ist wiederum
C ∈ R eine Konstante.