Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 16
Extremstellen bei mehreren
unabhängigen Variablen
In diesem Kapitel verallgemeinern wir die Untersuchung von Funktionen aus Kapitel 5.4 auf
Funktionen mehrerer Variablen. Maxima und Minima von Funktionen einer Variablen zeichnen
sich dadurch aus, dass die jeweiligen Tangenten horizontal sind. Dieser Sachverhalt gilt
auch für Funktionen zweier (oder mehrerer) Variablen: Eine horizontale Tangentialebene ist
eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Die zweiten partiellen Ableitungen liefern
eine hinreichende Bedingung für die Unterscheidung zwischen Maxima, Minima und Sattelpunkten.
In einem zweiten Teil benutzen wir diese Ergebnisse, um nach der Methode der kleinsten
Quadrate zu einer gegebenen Punktewolke eine beste Gerade zu berechnen. Diese so genannte
lineare Regression ist eine der wichtigsten Anwendungen der Kurvendiskussion von
Funktionen mehrerer Variablen.
16.1 Notwendige und hinreichende Bedingung
Wir beschränken uns zuerst auf Funktionen von zwei Variablen. Gesucht sind die relativen
Maxima und Minima. Bei solchen ist notwendigerweise die Tangentialebene an die Fläche
z = f(x,y) horizontal, d.h., der Gradient muss parallel der z-Achse verlaufen. Die Fläche
wird durch F(x,y,z) = z −f(x,y) = 0 beschrieben, also folgt
⎛
grad(F) = ⎝
⎞ ⎛
F x
F y
⎠ = ⎝
F z
−f x
−f y
1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0
0
1
⎞
⎠.
Woraus die notwendige Bedingung
f x (x 0 ,y 0 ) = 0 und f y (x 0 ,y 0 ) = 0
für einen Extremwert im Punkt P(x 0 ,y 0 ) folgt (vgl. Abbildung 16.1.i).
Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend, wie die Sattelfläche z = x 2 −y 2 im Sattelpunkt
zeigt (vgl. Abbildung 16.1.ii).
Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremwertes im Punkt P(x 0 ,y 0 ) ist
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