Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.10. Ansatzmethode und Superpositionsprinzip 373
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet c ∈ R eine Konstante.
Lösung 21.10.1. y(x) = ce 2x +2e 3x
Lösung 21.10.2. Eshandeltsich hierumeinensogenanntenResonanzfall, d.h.,dieLösung
derhomogenenDifferenzialgleichung y h (x) = ce 4x enthält diegleiche Exponentialfunktionwie
die Störfunktion. In diesem Fall muss der Polynomgrad des Ansatzes um Eins erhöht werden,
d.h., der Ansatz lautet y p (x) = (Ax+B)e 4x . Die Lösung ist y(x) = e 4x (c+2x).
Lösung 21.10.3. y(x) = ce −x +x 3 −2x 2 +5x−4
Lösung 21.10.4. y(x) = ce 2x − 3 2
Lösung 21.10.5. s(t) = ce −3t + 1 5 sin(t)− 2 5 cos(t)
Lösung 21.10.6. I(t) = ce −2t − 1 2 sin(2t)− 1 2 cos(2t)
Beispiel 21.10.3. Nun interessieren wir uns für die Differenzialgleichung
y ′ +2y = 25x 2 e 3x .
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung lautet y h (x) = ce −2x , wobei c ∈ R eine
Konstante ist. Wir machen den Ansatz
y p (x) = (Ax 2 +Bx+C)e 3x ,
differenzieren ihn
y ′ p(x) = ((2Ax+B)+3(Ax 2 +Bx+C))e 3x
und setzen ihn in die Differenzialgleichung ein. Dividieren wir beide Seiten durch die Funktion
e 3x ≠ 0, dann folgt
2Ax+B +3(Ax 2 +Bx+C)+2(Ax 2 +Bx+C) = 25x 2 .
Wiederum muss diese Gleichung für alle x gelten.
Der Koeffizientenvergleich von x 2 ergibt 5A = 25.
Der Koeffizientenvergleich von x 1 ergibt 2A+5B = 0.
Der Koeffizientenvergleich von x 0 ergibt B +5C = 0.
Die Lösung beträgt A = 5, B = −2 und C = 2 5
. Somit lautet die allgemeine Lösung der
Differenzialgleichung
(
y(x) = ce −2x + 5x 2 −2x+ 2 )
e 3x ,
5
wobei c ∈ R eine Konstante ist.