Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

170 Kapitel 8. Umkehrfunktionen
Aufgabe 8.2.13. Bestimmen Sie die erste Ableitung von
( x
f(x) = xarcsin +
a) √ a 2 −x 2
wobei a ∈ R−{0}.
Aufgabe 8.2.14. Beweisen Sie, dass sich die Werte der Funktion
( ) x+a
f(x) = arctan(x) und g(x) = arctan
1−ax
wobei a ∈ R und x ∈ R−{ 1 a
}, um eine additive Konstante unterscheiden. Bestimmen Sie die
Konstante.
Aufgabe 8.2.15. Beweisen Sie, dass sich die Werte der Funktion
f(x) = arcsin
(2x √ )
1−x 2 und g(x) = 2arcsin(x)
] √ √ [
− 2
2 , 2
2
, um eine additive Konstante unterscheiden. Bestimmen Sie die Kon-
wobei x ∈
stante.
Aufgabe 8.2.16. Berechnen Sie
f(y) =
∫ y
1
2
( ) π
2 + 1
√ dα.
1−α 2
Aufgabe 8.2.17. Berechnen Sie die Masszahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen der
x-Achse und der Kurve mit der Gleichung
f(x) = 1
1+x 2.
Aufgabe 8.2.18. Legen Sie an der Stelle x 1 die Tangente an den Hauptzweig der Bildkurve
von f(x) = arctan(x) und g(x) = arccot(x). Welche x-Koordinaten hat der Schnittpunkt der
beiden Tangenten.
Aufgabe 8.2.19. Drücken Sie die folgenden Funktionen ohne trigonometrische und ohne
Arkusfunktionen aus.
a. f(x) = arccos(sin(x)) b. f(x) = sin ( arccos ( ))
1
x
Aufgabe 8.2.20. Beweisen Sie mit Hilfe der Ableitung, dass
( ) 2u
2arctan(u) = arcsin
1+u 2
für alle u ∈ ]−1,1[.
Aufgabe 8.2.21. Beweisen Sie mit Hilfe der Ableitung, dass
(√ ) 1−x
arctan √ + 1 1+x 2 arcsin(x) = π 4
für alle x ∈ ]−1,1[.