Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

200 Kapitel 11. Integrationsmethoden
3. Grenzen mitsubstituieren:
∫ π
2
0
∫
cos(α) 1
1+sin 2 (α) dα =
0
∣
dz ∣∣∣∣
1
1+z 2 = arctan(z)
0
= arctan(1)−arctan(0) = π 4 .
Die Grenzen bezüglich z ergeben sich aus der Substitutionsbeziehung z = sin(x) indem
wir für α die entsprechenden Grenzen einsetzen z 1 = 0 = sin(0) und z 2 = 1 = sin( π 2 ).
Diese Variante wird am meisten verwendet, da die zum Teil mühsame Rücksubstitution
entfällt.
Aufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Aufgabe 11.1.10.
∫ 4
2
2e 3y−6 dy
Aufgabe 11.1.11.
∫ 1
0
( x
2 + 3 2
) 2
dx
Aufgabe 11.1.12.
∫ −
π
2
−π
cos 2( ω
2 − π )
dω
4
Aufgabe 11.1.14.
∫ 2
∫
Aufgabe 11.1.15. F(ϕ) =
0
( ( u
))
−sin
5 +1 du
cos 3 (ϕ)sin(ϕ)dϕ
Aufgabe 11.1.13.
∫ 5
4
dv
(v −3) 2
∫ (5sin
Aufgabe 11.1.16. G(x) =
4 (x)−3sin 2 (x)+2sin(x)+4 ) cos(x)dx
Lösungen
Lösung 11.1.10. 268.286
Lösung 11.1.12. 0.285
Lösung 11.1.11. 37
12 ≈ 3.08333 Lösung 11.1.13. 1 2
Lösung 11.1.14. −1.8517
Lösung 11.1.15. F(ϕ) = − 1 4 cos4 (ϕ)+C, wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Lösung 11.1.16. G(x) = sin 5 (x) − sin 3 (x) + sin 2 (x) + 4sin(x) + C, wobei C ∈ R eine
Integrationskonstante ist.
Die folgenden Beispiele zeigen das Vorgehen für typische Fälle.
Beispiel 11.1.6. Wir betrachten das bestimmteIntegral ∫ e
1
also dz = dx x und z 1 = 0 und z 2 = 1. Dann folgt
∫ e
1
√
ln(x)
dx =
x
∫ 1
0
√
ln(x)
1
√ 2 zdz =
3 z 3
2
∣ = 2
0
3
x
dx. Substituierez = ln(x),