Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

17.2. Approximation von diskreten Funktionen 305
Da F mm (m,q) = 18, F qq (m,q) = 6 und F mq (m,q) = F qm (m,q) = 9 folgt
F mm (3,− 3 2
) = 18 > 0,
F mm (3,− 3 2 )·F qq(3,− 3 2 )−F2 mq (3,−3 2
) = 27 > 0.
Somit handelt es sich bei der gefundenen Lösung in der Tat um ein Minimum.
Bemerkung 17.1.1. Das gleiche Resultat liesse sich auch dadurch erzielen, indem wir zuerst
nach m und q partiell differenzieren und dann integrieren, d.h.
F m (m,q) = −2
F q (m,q) = −2
∫ 3
0
∫ 3
0
x(x 2 −mx−q)dx = 18m+9q − 81 2 = 0,
(x 2 −mx−q)dx = 9m+6q −18 = 0.
Die im Beispiel 17.1.1 vorgeführte Methode folgt konsequent der Idee der Approximation
einer stückweise stetigen Funktion mit minimalem quadratischen Fehler nach Tschebysheff;
ist aber etwas aufwändiger zum Rechnen.
Aufgaben
Aufgabe 17.1.1. Ermitteln sie die Konstanten a und b so, dass im Intervall [0,1] die Gleichung
ax+b = √ x mit minimalem quadratischen Fehler gilt.
Aufgabe 17.1.2. Gegeben sei die Funktion
{ x
2
für x ∈ [0,1],
g(x) =
x für x ∈ [1,2].
Bestimmen Sie für das Intervall [0,2] die beste Gerade zu dieser Funktion.
Aufgabe 17.1.3. Bestimmen Sie für die Funktion g(x) = e x die beste Gerade im Intervall
[0,1].
Lösungen
Lösung 17.1.1. a = 4 5 und b = 4 15
Lösung 17.1.2. Die Steigung ist 9 8 und der Achsenabschnitt ist − 5 24 .
Lösung 17.1.3. Die Steigung ist 18−6e und der Achsenabschnitt ist −10+4e.
17.2 Approximation von diskreten Funktionen
(C. F. Gauss, 1777-1855)
Gegeben seien n Punkte P 1 (x 1 ,y 1 ),...,P n (x n ,y n ). Gesucht ist eine Funktion f der Form
f(x) =
m∑
a k f k (x) = a 1 f 1 (x)+···+a m f m (x), wobei m < n.
k=1