Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

304 Kapitel 17. Approximation mit minimalem quadratischen Fehler
17.1 Approximation einer stückweise stetigen Funktion
(P. Tschebysheff, 1821-1894)
Gesucht wird eine Funktion f : [a,b] → R, welche die gegebene Funktion g : [a,b] → R so
annähert, dass das Integral
∫ b
a
(g(x)−f(x)) 2 dx
minimal wird. Wir sprechen auch etwa von einer Approximation im Mittel.
y
y = g(x)
y = mx + q
a
Abbildung 17.1.i: Allgemeine Approximation mit minimalem quadratischen Fehler
Der Typ der gesuchten Funktion f muss natürlich bekannt sein, z.B. Gerade, Parabel, etc.
Wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass sich die Approximation immer auf ein bestimmtes
Intervall [a,b] bezieht. Die obige Formel stellt die Verallgemeinerung der Fehlerquadratsumme
auf stetige Funktionen dar.
Beispiel 17.1.1. Gegeben sei die Funktion g(x) = x 2 . Gesucht wird die Gerade f(x) =
mx+q, die die Parabel im Intervall [0,3] am besten annähert. Wir bilden das Integral
F(m,q) =
∫ 3
0
(x 2 −mx−q) 2 dx,
welches minimalisiert werden soll. Zuerst berechnen wir das Integral
F(m,q) =
∫ 3
0
(x 4 +m 2 x 2 +q 2 −2mx 3 −2qx 2 +2mqx)dx
( )∣ x
5
=
5 +m2x3 3 +q2 x−2m x4 ∣∣∣
3
4 −2qx3 3 +2mx2 2 q 0
= 243
5 +9m2 +3q 2 − 81
2
m−18q +9mq.
Nun sind m und q so zu wählen, dass die Funktion F minimal wird. Also berechnen wir die
ersten partiellen Ableitungen und setzen sie gleich null
F m (m,q) = 18m+9q − 81
2 = 0,
F q (m,q) = 9m+6q −18 = 0.
Es resultiert ein lineares Gleichungssystem mit der eindeutigen Lösung m = 3 und q = − 3 2 .
Also ist die gesuchte Gerade
y = 3x− 3 2 .
b
x