Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.7. Taylorreihe einer Funktion 253
12.7 Taylorreihe einer Funktion
Es soll zu einer gegebenen Funktion f eine Potenzreihe bestimmt werden, so dass im Konvergenzintervall
gilt
∞∑
f(x) = a n x n .
Dazu verwenden wir den Hauptsatz über Potenzreihen 12.6.1. Dann folgt
n=0
f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +··· , f(0) = a 0 , a 0 = f(0)
f ′ (x) = a 1 +2a 2 x+3a 3 x 2 +4a 4 x 3 +··· , f ′ (0) = a 1 , a 1 = f ′ (0)
f ′′ (x) = 2a 2 +6a 3 x +12a 4 x 2 +··· , f ′′ (0) = 2a 2 , a 2 = 1 2 f′′ (0)
f ′′′ (x) = 6a 3 +24a 4 x +··· , f ′′′ (0) = 6a 3 , a 3 = 1 6 f′′′ (0)
und allgemein
f (n) (0) = n!a n , a n = 1 n! f(n) (0).
Kennen wir also f und die Ableitungen aller Ordnungen im Nullpunkt, so lässt sich f als
Reihe darstellen.
Satz 12.7.1 (Maclaurinsche Form der Taylorreihe). Es sei f eine unendlich oft differenzierbare
Funktion, dann gilt
∞∑ f (n) (0)
f(x) = x n .
n!
n=0
Abbildung 12.7.i: Maclaurin Colin, 1698-
1746
Abbildung 12.7.ii: Taylor Brook, 1685-
1731
Daraus folgt insbesondere die erstaunliche Tatsache, dass eine Funktion global durch ihr
Verhalten und das Verhältnis ihrer Ableitungen im Nullpunkt bestimmt ist.
Beispiel 12.7.1. Wir betrachten nun einige Taylorreihen.
a. Bestimme die Taylorreihe der Funktion
f(x) = e x .