Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

6.3. Integrationsregeln 143
Beweis. Wir wählen eine Stammfunktion F von f, das heisst, F ′ = f und
∫
f(x)dx = F(x)+C 1 ,
wobei C 1 eine beliebige reelle Zahl ist. Auf der anderen Seite gilt für jede Stammfunktion
G von af die Beziehung G ′ = af = aF ′ = (aF) ′ , das heisst, G = aF +C 2 für ein gewisses
C 2 ∈ R. Damit erhalten wir
∫
∫
af(x)dx = aF(x)+C 2 = a(F(x)+C 1 ) = a f(x)dx.
Satz 6.3.3 (Vertauschen der Integrationsgrenzen). Es sei f eine stetige Funktion. Dann gilt
∫ b
a
f(x)dx = −
Beweis. Für jede Stammfunktion F von f ist
∫ b
a
∫ a
b
f(x)dx.
f(x)dx = F(b)−F(a) = −(F(a)−F(b)) = −
∫ a
b
f(x)dx.
Satz 6.3.4 (Zerlegung des Integrationsintervalles zwei Teile). Es sei f eine stetige Funktion.
Dann gilt
(vgl. Abbildung 6.3.i).
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx
y
y = f(x)
a
c
b
x
Abbildung 6.3.i: Zerlegung des Intervalles [a,b]
Beweis. Für jede Stammfunktion F von f ist
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx = (F(c)−F(a))+(F(b)−F(c)) = F(b)−F(a) =
∫ b
a
f(x)dx.