Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

366 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Trennen der Variablen
gefolgt von einer Integration ergibt
∫
ln(|y|) = −
dy
y = −f(x)dx,
f(x)dx+C 1 ,
wobei C 1 ∈ R eine Konstante ist. Nun können wir diese implizite Lösung nach
y(x) = e −∫ f(x)dx+C 1
= e C 1
e −∫ f(x)dx
auflösen. Wenn wir die Konstante e C 1
= C ersetzen, erhalten wir die allgemeine Lösung der
homogenen Differenzialgleichung
mit C ∈ R beliebig.
y h (x) = Ce −∫ f(x)dx
21.9 Integration inhomogener linearer Differenzialgleichungen
erster Ordnung durch Variation der Konstanten
Die inhomogene Differenzialgleichung
y ′ +f(x)y = s(x)
wird nun in zwei Schritten gelöst. Allgemein bestimmen wir immer zuerst die Lösung der homogenen
Differenzialgleichung und dann eine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung.
1. Bestimmen der Lösung der homogenen Differenzialgleichung
y ′ +f(x)y = 0
nach dem Verfahren von Kapitel 21.8 ergibt die allgemeine Lösung der homogenen
Differenzialgleichung
y h (x) = Ce −∫ f(x)dx .
Nun bleibt uns nur noch die Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung zu finden.
Dazu benötigen wir ein neues Verfahren.
2. Variation der Konstanten C: Wir machen den Lösungsansatz
y(x) = C(x)e −∫ f(x)dx .
Es zeigt sich nun, dass die inhomogene Differenzialgleichung so gelöst werden kann, dass
wir die allgemeine Konstante C in der Lösung der homogenen Differenzialgleichung
als Funktion von x auffassen und diese Funktion so bestimmen, dass die inhomogene
Differenzialgleichung erfüllt wird. Die Funktion 1 C bestimmen wir durch Einsetzen
1 in Abhängigkeit der Variablen x