Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

20 Kapitel 2. Funktionen
2.5 Polynomfunktionen zweiten Grades
Eine allgemeine Polynomfunktion zweiten Grades hat die Form
f(x) = ax 2 +bx+c, wobei a,b,c ∈ R und a ≠ 0.
Wir möchten den Graf dieser Funktion in aller Allgemeinheit diskutieren. Zuerst formen wir
die Funktion mit der Methode der quadratischen Ergänzung um, damit wir sie auf einen
bereits besprochenen Fall zurückführen können.
f(x) = ax 2 +bx+c
= a
(x 2 + b )
a x +c
(
= a x+ b ) 2
+c− b2
2a 4a
(
= a x+ b ) 2
+ 4ac−b2
2a 4a
Die Kurve y = f(x) ist also eine Parabel, die um b
4ac−b2
2a
nach links und um
4a
nach oben
verschoben, und um den Faktor a gegenüber der Standardparabel f(x) = x 2 gestreckt ist.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich bei
Damit lässt sich der Graf sofort zeichnen.
(
S − b )
2a , 4ac−b2 .
4a
Beispiel 2.5.1. Wir betrachten die Polynomfunktion f(x) = −2x 2 +3x−1.
f(x) = −2x 2 +3x−1
= −2
(x 2 − 3 )
2 x −1
(
= −2 x− 3 ) 2
−1+ 9 4 8
(
= −2 x− 3 ) 2
+ 1 4 8
Obige quadratische Ergänzung erlaubt es uns jetzt, den Grafen der Funktion zu zeichnen (vgl.
Abbildung 2.5.i).
AusderquadratischenErgänzunglässtsichnundiebekannteFormel fürdiebeidenNullstellen
einer Polynomfunktion zweiten Grades herleiten. Es gilt
(
f(x) = ax 2 +bx+c = a x+ b ) 2
+ 4ac−b2
2a 4a
= 0