Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.5. Bauwerke mathematisch betrachtet 433
A.4.4 Dendrochronologie - Jahresringe
Frage: Sind die Jahresringe eines schön gewachsenen Baumes auf unserer Breite Ellipsen?
A.5 Bauwerke mathematisch betrachtet
A.5.1 Kühlturm
A.5.2 Eiffelturm
Die Berge sind unten breiter also oben und bis in die heutige Zeit wenden Architekten bei
der Konstruktion hoher Türme das gleiche Prinzip an. Auf jeder Höhe des Turms müssen die
Materialien der Konstruktion das Gewicht der darüber liegenden Struktur tragen. Damit der
Turm nicht unter der Last des Gewichtes zusammenbricht, muss der Querschnitt des Turmes
unten grösser sein als oben. Der berühmte Eiffelturm, konstruiert für die Weltausstellung
1889 in Paris durch den genialen Ingenieur Gustave Eiffel, kommt dieser idealen Form am
nächsten.
Welche Funktion beschreibt die Form des idealen Turmbaus? Um diese Frage zu beantworten,
vereinfachen wir die Situation, indem wir annehmen, dass unser Turm homogen und gefüllt
ist. Die konstante Dichte des Turms betrage ρ. Der Turm soll eine Höhe von h erhalten und
die Querschnittsfläche zuoberst soll S h betragen.
x
S h
h
S(x)
∆x
x
0
y = d p (x)
y
Abbildung A.5.i: Schematischer Turmbau
Aus statischen Gründen fordern wir, dass der Druck auf eine horizontale Schnittfläche auf
jeder Höhe konstant gleich λ ist. Aus dieser Tatsache können wir eine Differenzialgleichung
für die Querschnittsfläche S in Funktion der Höhe x ∈ [0,h] herleiten:
Wir betrachten eine Scheibe der Höhe ∆x auf der Höhe x aus dem Turm. Diese hat das
Gewicht
∆F = −ρgS(x)∆x,
wobei g die Erdbeschleunigung darstellt. Nach Division durch ∆x und einem Grenzübergang
∆x → 0 erhalten wir einerseits
F ′ (x) = −ρgS(x).
Andererseits folgt aus der Annahmedes konstanten Druckes auf eine horizontale Schnittfläche
S(x) im ganzen Gebäude, dass
λ = F(x)
S(x)
für x ∈ [0,h]