Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.5. Beispiele einer Kurvendiskussion 127
Aufgabe 5.5.6. Bestimmen Sie die Polynomfunktion fünften Grades
f(x) = x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e
die mit der x-Achse einen Berührungspunkt mit Abszisse 0, einen Extrempunkt bei P(2,−2)
und einem Wendepunkt mit der Abszisse 1 hat?
Aufgabe 5.5.7. ZerlegenSieeineZahlz inzwei Summanden,sodassderenProduktmaximal
wird.
Aufgabe 5.5.8. Zur Bestimmung eines Wertes liegen n verschiedene Messwerte x 1 ,x 2 ,...,
x n vor, deren absolute Fehler |x−x 1 |,|x−x 2 |,...,|x−x n | sind. Für welche Werte x wird die
Summe der Quadrate dieser Fehler, also
ein Minimum?
S(x) = (x−x 1 ) 2 +(x−x 2 ) 2 +···+(x−x n ) 2
Aufgabe 5.5.9. In einer Kugel mit Radius R ist
a. der Kreiszylinder mit dem grössten Volumen V,
b. der Kreiszylinder mit der grössten Mantelfläche M,
c. der Kreiszylinder mit der grössten Oberfläche O und
d. der Kegel mit grösstem Volumen V
einzubeschreiben. Wie gross sind jeweils der Radius und die Höhe?
Aufgabe 5.5.10. Zwei Punkte P 1 und P 2 bewegen sich auf den beiden Koordinatenachsen
gleichförmig mit v 1 = 0.3ms −1 und v 2 = 0.4ms −1 in Richtung Ursprung. Am Anfang der
Bewegung sind sie vom Ursprung 12m und 9m entfernt. Nach wie vielen Sekunden ist ihre
Entfernung minimal?
Aufgabe 5.5.11. Zwei Punkte A und B haben von einer Geraden g die Abstände a und b.
Die Fusspunkte ihrer Lote auf g haben den Abstand c. Für welchen Punkt P auf der Geraden
g wird die Zeit zum Durchlaufen der geraden Wegstücke von A nach P und anschliessend von
P nach B am kleinsten, wenn
a. die Punkte A und B auf derselben Seite von g liegen und der Weg mit konstanter
Geschwindigkeit v durchlaufen wird (Reflektionsgesetz)?
b. die Punkte A und B auf verschiedenen Seiten von g liegen und der Weg von A nach
P mit konstanter Geschwindigkeit v A und der Weg von P nach B mit konstanter Geschwindigkeit
v B durchlaufen werden (Brechungsgesetz)?
Aufgabe 5.5.12. Für eine symmetrische Linse mit konstanter Brennweite f ist mit Hilfe der
Abbildungsgleichung
1
f = 1 g + 1 b ,
wobei g die Gegenstandsweite und b die Bildweite ist, die kürzeste Entfernung von Bild und
Gegenstand zu bestimmen.