Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.12. Allgemeine Betrachtungen zu linearen Differenzialgleichungen 381
Beispiel 21.12.2. Es sind y 1 (x) = x und y 2 (x) = x 2 . Dann ist y(x) = c 1 x + c 2 x 2 eine
Linearkombination. Oder y 1 (x) = sin(x) und y 2 (x) = cos(x) sind gegeben, und dann ist
y(x) = c 1 sin(x)+c 2 cos(x) eine Linearkombination.
Satz 21.12.1 (Linearität des Differenzialoperators). Sind die beiden Funktionen y 1 und y 2
genügend oft differenzierbar, so gilt
L[c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)] = c 1 L[y 1 (x)]+c 2 L[y 2 (x)] mit c 1 ,c 2 ∈ C,
wobei L ein linearer Differenzialoperator mit konstanten Koeffizienten ist.
Beweis. Wir nehmen die linke Seite und formen sie mit Hilfe der Definition eines linearen
Differenzialoperators in die rechte Seite um.
L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = a n (c 1 y 1 +c 2 y 2 ) (n) +···+a 0 (c 1 y 1 +c 2 y 2 )
= a n c 1 y (n)
1 +a n c 2 y (n)
2 +···+a 0 c 1 y 1 +a 0 c 2 y 2
= a n c 1 y (n)
1 +···+a 0 c 1 y 1 +a n c 2 y (n)
2 +···+a 0 c 2 y 2
= c 1 (a n y (n)
1 +···+a 0 y 1 )+c 2 (a n y (n)
2 +···+a 0 y 2 )
= c 1 L[y 1 ]+c 2 L[y 2 ]
Beispiel 21.12.3. Es sind die Funktionen y 1 (x) = x 2 , y 2 (x) = x 3 und der Differenzialoperator
L = d2
dx 2 +2 gegeben. Dann gilt für beliebige Zahlen c 1 ,c 2 ∈ C
L[c 1 x 2 +c 2 x 3 ] = d2
dx 2(c 1x 2 +c 2 x 3 )+2(c 1 x 2 +c 2 x 3 )
d 2 d 2
= c 1
dx 2x2 +c 2
dx 2x3 +2c 1 x 2 +2c 2 x 3
( d
2
) ( d
= c 1
dx 2x2 +2x 2 2
)
+c 2
dx 2x3 +2x 3
= c 1 L[x 2 ]+c 2 L[x 3 ].
Satz 21.12.2 (Linearkombinationen homogener Lösungen sind auch Lösungen). Sind die
beiden Funktionen y 1 und y 2 zwei verschiedene Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung
mit konstanten Koeffizienten L[y] = 0, d.h., es gilt L[y 1 ] = 0 und L[y 2 ] = 0. Dann
sind Linearkombinationen c 1 y 1 +c 2 y 2 mit c 1 ,c 2 ∈ C der beiden Lösungen auch Lösungen der
Differenzialgleichung, d.h.
Beweis. Mit Satz 21.12.1 folgt
L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = 0.
L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = c 1 L[y 1 ]+c 2 L[y 1 ] = c 1 0+c 2 0 = 0.