Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

13.3. Partielle Ableitungen 273
z
z = f(x, y)
f(x 0 + ∆x,y 0 )
α
P
•
β
f(x 0 ,y 0 + ∆y)
x
∆x
∆y
•
P 0 (x 0 , y 0 , 0)
x 0
y 0
y
Abbildung 13.3.i: Die partiellen Ableitungen im Punkt P werden gebildet. Bild: T. Heim
Diese Grenzwerte heissen partielle Ableitungen, da jeweils nur eine Variable variiert wird.
Die praktische Berechnungeiner partiellen Ableitungerfolgt mitdengewohnten Ableitungsregeln,
indem alle anderen Variablen während der Ableitung als Konstanten betrachtet werden.
Die partielle Ableitung wird deshalb auch mit dem Zeichen ∂ speziell gekennzeichnet.
Beispiel 13.3.1. Wir betrachten die Funktion
f(x,y) = x 2 +y 2 ,
dessen grafische Darstellung ein Rotationsparaboloid ist. Die Tangentensteigungen im Punkt
Abbildung13.3.ii: Das Rotationsparaboloid mitderGleichung z = x 2 +y 2 , dasdurchRotation
einer Parabel um die z-Achse entsteht.
P(1,2,5) längs den Koordinatenachsen seien zu berechnen. Wir identifizieren x 0 = 1, y 0 = 2
und demzufolge z 0 = f(1,2) = 5, also sind die partiellen Ableitungen
∂
∂x f(x,y) = f x(x,y) = 2x und
∂
∂y f(x,y) = f y(x,y) = 2y.