Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

292 Kapitel 15. Gradient und Tangentialebene
Satz 15.1.1. Es sei z = f(x,y) eine Fläche und F(x,y,z) = z −f(x,y) = 0 deren implizite
Gleichung. In jedem Punkt der Fläche steht der Gradient grad(F(x,y,z)) senkrecht auf dieser
Fläche.
Beweis. Wir betrachten eine Parametrisierung
⎛
⃗r(x,y) = ⎝
x
y
f(x,y)
der Fläche z = f(x,y). Nun berechnen wir den Tangentialvektor ⃗t x einer Kurve auf der
Fläche, die parallel zur xz-Ebene liegt, d.h.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⃗t x = ∂
∂x ⃗r(x,y) = ∂ x 1
⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠
∂x
f(x,y) f x (x,y)
und einer Kurve, die parallel zur yz-Ebene liegt, d.h.
⎛ ⎞ ⎛
⃗t y = ∂ ∂y ⃗r(x,y) = ∂ x
⎝ y ⎠ = ⎝
∂y
f(x,y)
⎞
⎠
0
1
f y (x,y)
Wir wissen, dass die beiden Vektoren ⃗t x und ⃗t y die Tangentialebene aufspannen, also steht
⎛
1
⎞ ⎛
0
⎞ ⎛ ⎞
−f x (x,y)
⃗t x ×⃗t y = ⎝ 0
f x (x,y)
⎠× ⎝ 1
f y (x,y)
⎠ = ⎝ −f y (x,y) ⎠
1
senkrecht auf der Tangentialebene. Andererseits gilt
grad(F(x,y,z)) = grad(z −f(x,y)) = ⎝
⎛
⎞
−f x (x,y)
−f y (x,y)
1
Damit ist grad(F(x,y,z)) =⃗t x ×⃗t y , und die Behauptung ist bewiesen.
Beispiel 15.1.2. Die Funktion f(x,y) = x 2 +y 2 beschreibt ein Rotationsparaboloid im
Raum (vgl. Abbildung 15.1.i). Die dazugehörig Gleichung in den drei Variablen x,y und z
lautet F(x,y,z) = x 2 +y 2 −z = 0. Die partiellen Ableitungen sind durch F x = 2x, F y = 2y
und F z = −1 gegeben. Also ist der Gradient
⎛
grad(F(x,y,z)) = ⎝
Wir berechnen nun den Gradient im Ursprung U(0,0,0) und im Punkt P(1,1,2)
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
2
grad(F(0,0,0)) = ⎝ 0 ⎠ und grad(F(1,1,2)) = ⎝ 2 ⎠.
−1
−1
2x
2y
−1
⎞
⎠.
⎠.
⎞
⎠.