Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

20.2. Das Linienintegral 339
Beispiel 20.2.1. Ein Körper der Masse m werde längs einer Windung einer Schraubenlinie
⎛ ⎞
cos(t)
⃗r(t) = ⎝ sin(t) ⎠
h
2π t
um die Höhe h im Kraftfeld der Erde gehoben. Welche Arbeit ist aufzuwenden, wenn die
z-Achse vom Erdmittelpunkt wegzeigt? Das Kraftfeld hat die folgende Gestalt
⎛ ⎞
0
⃗F(x,y,z) = ⎝ 0 ⎠.
−mg
Damit folgt für das Linienintegral
W =
∫ 2π
0
∫ 2π
= −
0
⃗F (⃗r(t))· ˙⃗r(t)dt =
mgh
dt = −mgh.
2π
∫ 2π
0
⎛
⎝
0
0
−mg
⎞
⎛
⎠· ⎝
−sin(t)
cos(t)
h
2π
Das Arbeitsintegral liefert stets die vom Kraftfeld verrichtete Arbeit.
Beispiel 20.2.2. Um den Ursprung existiere ein Kraftfeld, bei dem alle Feldvektoren nach
dem Ursprung hingerichtet sind. Ihr Betrag ist proportional dem Abstand von Ursprung mit
der positiven Proportionalitätskonstante c. Welche Arbeit ist aufzubringen, wenn längs der
Schraubenlinie
⎛ ⎞
acos(t)
⃗r(t) = ⎝ asin(t) ⎠
h
2π t
um die Höhe h bewegt wird? Der Feldvektor hat die Gestalt
Damit folgt für das Linienintegral
W =
∫ 2π
0
= −c
⎛
⃗F(x,y.z) = −c⃗r = −c⎝
⃗F (⃗r(t))· ˙⃗r(t)dt
∫ 2π
0
∫ 2π
= −c
0
⎛
⎝
(
= −c h2
4π 2 ∫ 2π
0
= −c h2
4π 2 t 2 2
⎞
acos(t)
asin(t) ⎠·
h
2π t
⎛
⎝
−asin(t)
acos(t)
h
2π
x
y
z
⎞
⎞
⎠.
⎠dt
−a 2 cos(t)sin(t)+a 2 sin(t)cos(t)+
∣
2π
0
tdt
= −c h2 (2π) 2
4π 2 2
Demzufolge ist die aufzubringende Arbeit W = ch2
2 .
= − ch2
2 .
⎞
⎠dt
( ) h 2
t)
dt
2π