Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

17.2. Approximation von diskreten Funktionen 309
Daraus lassen sich die gesuchten Koeffizienten a und b berechnen. Dieses Normalgleichungssystem
lässt sich wiederum mit Hilfe einer Matrizengleichung schreiben
⎛
⎞ ⎛ ⎞
8∑ 8∑
8∑
x 2 i x i sin(x i )
)
y i x i
i=1 i=1
a ⎜
⎝
8∑ 8∑ ⎟ =
i=1
⎠·(
b ⎜
x i sin(x i ) sin 2 ⎝
8∑ ⎟
⎠ .
(x i ) y i sin(x i )
i=1
i=1
Aus den Koordinaten der gegebenen 8 Punkte P 1 (x 1 ,y 1 ),...,P 8 (x 8 ,y 8 ) lassen sich die Koeffizienten
dieses Normalgleichungssystems numerisch berechnen. Wir erhalten 3
i=1
8∑
x 2 i = 140,
i=1
8∑
sin 2 (x i ) = 3.5568,
i=1
8∑
x i sin(x i ) = −1.8160,
i=1
8∑
x i y i = 142.2,
i=1
8∑
y i sin(x i ) = −5.4297.
Damit ergibt sich das zu lösende lineare Normalgleichungssystem
( ) ( ) ( )
140 −1.8160 a 142.2
· =
−1.8160 3.5568 b −5.4297
i=1
mit der Lösung 4 a = 1.0026 und b = −1.0147. Die gesuchte Ausgleichsfunktion ist also durch
f(x) = 1.0026x−1.0147sin(x)
3 x im Bogenmass
4 Wir könnten auch mit der Cramerschen Regel (vgl. Fussnote 6 in Kapitel 22.4 oder [21], Seiten 86ff) die
Lösung
und
a =
⎛
det
⎜
⎝
⎛
det
⎜
⎝
b =
⎛
det
⎜
⎝
⎛
det
⎜
⎝
8∑
y ix i
i=1
8∑
y isin(x i)
i=1
8∑
i=1
x 2 i
8∑
x isin(x i)
i=1
8∑
i=1
x 2 i
8∑
x isin(x i)
i=1
8∑
i=1
x 2 i
8∑
x isin(x i)
i=1
⎞
8∑
x isin(x i)
8∑ ⎟
sin 2 ⎠
(x i)
i=1
i=1
⎞ =
8∑
x isin(x i)
8∑ ⎟
sin 2 ⎠
(x i)
i=1
i=1
8∑
y ix i
i=1
8∑
y isin(x i)
i=1
i=1
i=1
⎞
⎟
⎠
8∑ 8∑
x iy i sin 2 (x i)−
i=1
⎞ =
8∑
x isin(x i)
8∑ ⎟
sin 2 ⎠
(x i)
8∑
i=1
8∑
i=1
x 2 i
8∑
i=1
x 2 i
8∑ 8∑
y isin(x i) x isin(x i)
i=1
i=1
(
8∑ 8∑
sin 2 (x i)− x isin(x i)
i=1
i=1
8∑
y isin(x i)−
i=1
x 2 i
i=1 i=1
direkt aus dem Normalgleichungssystem (17.2.d) explizit berechnen.
i=1
) 2
8∑ 8∑
x isin(x i) x iy i
i=1
(
8∑ 8∑
) 2
.
sin 2 (x i)− x isin(x i)
i=1