Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

434 Anhang A. Anwendungen
und somit F ′ (x) = λS ′ (x). Eingesetzt in die zweite Gleichung erhalten wir die gesuchte
Differenzialgleichung
S ′ (x) = − ρg
λ S(x)
mit der Anfangsbedingung S(h) = S h . Es handelt sich um eine lineare Differenzialgleichung
erster Ordnung mit der allgemeinen Lösung
S(x) = Ce −ρg λ x ,
wobei C = S h e ρg λ h durch die Anfangsbedingung definiert wird. Damit ergibt sich die partikuläre
Lösung
S p (x) = S h e −ρg λ (x−h) .
Weil der Querschnitt proportional zum Quadrat des Durchmessers ist, können wir für den
Durchmesser d p des Turmes in Funktion der Höhe x ∈ [0,h] auch schreiben
wobei S h = π 4 d2 h .
d p (x) = d h e −ρg 2λ (x−h) ,
Abbildung A.5.ii: Eiffelturm
DieeleganteFormdesEiffelturmswirdinderTatdurcheineExponentialfunktionbeschrieben,
obwohl dieser nicht homogen und gefüllt ist (vgl. Abbildung A.5.ii).
A.5.3 Sprungschanze
A.5.4 Überhängender Turmbau
(vgl. [2] Seite 62)