Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.3. Fraktale 429
n = 1 Iterationen n = 2 Iterationen n = 3 Iterationen
n = 4 Iterationen n = 5 Iterationen n = 6 Iterationen
Abbildung A.3.v: Die Kochsche Schneeflocke mit nach innen gedrehten Dreiecken
n = 1 Iterationen
n = 2 Iterationen
n = 1 Iterationen
n = 2 Iterationen
n = 3 Iterationen
n = 4 Iterationen
n = 3 Iterationen
n = 4 Iterationen
Abbildung A.3.vi: Auf einem Quadrat basierende Kochsche Schneeflocke
A.3.3 Sierpinski-Dreieck und -Teppich
EinSierpinski-Dreieck, nachdempolnischenMathematiker Waclaw Sierpinski(1882-1969),
entsteht dadurch, dass ein gleichseitiges Dreieck in vier kongruente Teildreiecke unterteilt
wird und dieser Schritt auf die drei äusseren Dreiecke erneut angewendet wird, usw. ad infinitum
(vgl. Abbildung A.3.vii (links)). Das Sierpinski-Dreieck ist zu sich selbst ähnlich. Die
(Hausdorff-)Dimension des Sierpinski-Dreiecks beträgt
Dim(Sierpinski-Dreieck) = ln(3)
ln(2) ≈ 1.585.
Einanaloges Verfahrenlässt sichauch miteinem Quadratdurchführen,dannergibtsich derso
genannte Sierpinski-Teppich (vgl. AbbildungA.3.vii (rechts)). Auch der Sierpinski-Teppich
ist zu sich selbst ähnlich. Die (Hausdorff-)Dimension des Sierpinski-Teppichs beträgt
Dim(Sierpinski-Teppich) = ln(8)
ln(3) ≈ 1.896.