Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

428 Anhang A. Anwendungen
rationsverfahren aufjedeSeiteanwenden underhalten diesogenannte Kochsche Schneeflocke
(vgl. AbbildungA.3.iii). DieKochscheSchneeflocke hat folgendeerstaunlicheEigenschaft.
n = 1 Iterationen n = 2 Iterationen n = 3 Iterationen
n = 4 Iterationen n = 5 Iterationen n = 6 Iterationen
Abbildung A.3.iv: Die Kochsche Schneeflocke
Satz A.3.1. Der Flächeninhalt des Innern der Kochschen Schneeflocke mit gleichseitigem
Basisdreieck der Seitenlänge a beträgt A = 2√ 3
5 a2 , ist also endlich, und ihr Umfang unendlich.
Beweis. Bei jeder Iteration wächst die Kantenlänge der Figur um den Faktor 4 3
und der
Flächeninhalt um um den Faktor 4 9 .
Damit erhalten wir für den Umfang der Kochschen Schneeflocke
( ) 4 n
U = lim 3a = +∞.
n→+∞ 3
√
Essei A 0 = 3
4 a2 derFlächeninhalt desursprünglichengleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge
a. Im Gegensatz dazu erhalten wir für den Flächeninhalt der Kochschen Schneeflocke
A 0
A = A 0 + lim
k→+∞ 3
k∑
( ) 4 n
= A 0 + A 0
9 3
n=0
1
1− 4 9
= A 0
8
5 = a22√ 3
5 ,
daes sich umeine geometrische Reihemit q = 4 9
< 1handelt, dienach Satz12.2.1 konvergiert.
Weiter ist die Kurve überall stetig aber nirgends differenzierbar. Die (Hausdorff-)Dimension
der Kochschen Kurve ist nicht ganzzahlig und beträgt
Dim(Kochsche Kurve) = ln(4)
ln(3) ≈ 1.262.
Die (Hausdorff-)Dimensionen ist also grösser als die einer Linie (Dim(Linie) = 1).
Falls wir die Iteration etwas ändern, so erhalten wir analoge Schneeflocken mit ähnlichen
Eigenschaften (vgl. Abbildungen A.3.v und A.3.vi).
Solche Kurven werden auch etwa Monster Kurven genannt.