Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

382 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Beispiel 21.12.4. Wir erraten 4 zwei Lösungen y 1 (x) = sinh(x) und y 2 (x) = cosh(x) der
homogenen linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y ′′ −y = 0.
Dann sind y(x) = c 1 sinh(x)+c 2 cosh(x) auch Lösungen der Differenzialgleichung. Im Spezialfall
wenn c 1 = c 2 = 1 erhalten wir die Lösung
y 3 (x) = sinh(x)+cosh(x) = 1 2
und wenn c 1 = −1 und c 2 = 1 die Lösung
y 4 (x) = −sinh(x)+cosh(x) = − 1 2
(
e x −e −x) + 1 2
(
e x −e −x) + 1 2
(
e x +e −x) = e x
(
e x +e −x) = e −x .
Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung verifizieren wir in der Tat, dass y 3 (x) = e x und
y 4 (x) = e −x Lösungen sind. Obwohl wir nun vier Lösungen gefunden haben, sind nur zwei
davon linear unabhängig. Das heisst, die anderen zwei sind jeweils Linearkombinationen.
Satz 21.12.3 (Real- und Imaginärteil homogener Lösungen sind auch Lösungen). Ist die
komplexe Funktion u+iv Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung mit konstanten
Koeffizienten L[y] = 0, dann ist auch der Realteil u und der Imaginärteil v je eine Lösung
von L[y] = 0.
Beweis. Nach Voraussetzung gilt L[u+iv] = 0 und mit Satz 21.12.1 folgt
0 = L[u+iv] = L[u]+iL[v].
Eine komplexe Zahl ist genau dann null, wenn Real- und Imaginärteil null sind. Also folgt
L[u] = 0 und L[v] = 0, d.h., u und v sind auch Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung
mit konstanten Koeffizienten L[y] = 0.
Beispiel 21.12.5. Wir untersuchen die Differenzialgleichung
y ′′ +y = 0.
Durch Einsetzen verifizieren wir, dass die erratene komplexe Funktion y(x) = e ix in der Tat
eine Lösung ist
y ′′ +y = i 2 e ix +e ix = −e ix +e ix = 0.
Mit der Eulerformel (vgl. Formel 1.136b in [3])
e ix = cos(x)+isin(x)
und Satz 21.12.3 folgt, dass R(e ix ) = cos(x) und I(e ix ) = sin(x) auch Lösungen der Differenzialgleichung
sind, was wir durch Einsetzen rasch verifizieren können.
4 Im Folgenden werden wir Methoden entwickeln, um solche Differenzialgleichungen systematisch zu lösen.