Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

306 Kapitel 17. Approximation mit minimalem quadratischen Fehler
Die m Funktionen f 1 ,...,f m sind vorgegebene Funktionen in analytischer Form, wie zum
Beispiel x 2 , sin(x) oder 1 x . Die Koeffizienten a 1,...,a m werden so bestimmt, dass die Fehlerquadratsumme
n∑
n∑
S(a 1 ,...,a m ) = (f(x i )−y i ) 2 =
i=1
bezüglich der n Punkte P i minimal wird. Dies stellt eine Verallgemeinerung der bereits besprochenen
Methode der kleinsten Quadrate dar. Für a 1 = a, a 2 = b und f 1 (x) = x, f 2 (x) = 1
i=1
∆y 2 i
y
•
•
•
•
f(x i )
•
•
•
•
P i (x i , y i )
x i
∆y i
y = f(x)
•
•
•
•
x
Abbildung 17.2.i: Allgemeine Approximation mit minimalem quadratischen Fehler.
ergibt sich der der Spezialfall einer Ausgleichsgeraden. Wir wollen also die Fehlerquadratsumme
(
n∑
n∑ m
) 2
∑
S(a 1 ,...,a m ) = (f(x i )−y i ) 2 = a k f k (x i )−y i
i=1 i=1 k=1
minimieren, dazu berechnen wir alle ersten partiellen Ableitungen
(
n∑ ∑ m
S a1 (a 1 ,...,a m ) = 2 a k f k (x i )−y i
)f 1 (x i ) = 0,
i=1 k=1
.
.
(
n∑ ∑ m
S am (a 1 ,...,a m ) = 2 a k f k (x i )−y i
)f m (x i ) = 0.
i=1 k=1
Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für die m unbekannten Koeffizienten
a 1 ,...,a m .
(
n∑ ∑ m
) (
n∑ m
)
∑
n∑
a k f k (x i ) f 1 (x i ) = a k f k (x i )f 1 (x i ) = y i f 1 (x i ),
i=1 k=1
i=1 k=1
i=1
.
(
n∑ ∑ m
)
a k f k (x i ) f m (x i ) =
i=1 k=1
.
(
n∑ ∑ m
)
a k f k (x i )f m (x i ) =
i=1 k=1
n∑
y i f m (x i ).
i=1