Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

194 Kapitel 10. Volumen, Oberflächen- und Bogenlängenberechnungen
entsteht. Es gilt
M x = 2π
= 2π
= 2π
∫ x0 +h
x 0
∫ x0 +h
x 0
∫ x0 +h
Wenn wir h = 2r setzen, dann ergibt sich
x 0
f(x) √ 1+(f ′ (x)) 2 dx
√
r 2 −x 2 √
rdx = 2πrh.
d.h. die Oberfläche einer Kugel mit Radius r.
Aufgabe
1+
M x = 4πr 2 ,
( −2x
2 √ r 2 −x 2 ) 2
dx
Aufgabe 10.3.1. Bestimmen Sie die Oberfläche des durch die Kurve
f(x) = 1 3√ x(3−x)
im Intervall [0,3] durch Rotation um die x-Achse erzeugten Körpers.
Lösung
Lösung 10.3.1. M x = 3π
Weitere Beispiele und Übungen folgen nach Behandlung der Integrationsmethoden, da die
entstehenden Integrale oft keine Grundintegrale sind.
Zusammenstellung der zu integrierenden Differenziale:
Es sei die Kurve y = f(x) über dem Intervall [a,b] gegeben.
• Flächenelement für den Flächeninhalt unter der Kurve
dF = f(x)dx.
• Volumenelement für das eingeschlossene Volumen bei Rotation der Kurve um die
x-Achse
dV = π(f(x)) 2 dx
und bei bekanntem Flächeninhalt q(x) des Querschnitts
dV = q(x)dx.
• Mantelflächenelement für die Mantelfläche bei Rotation der Kurve um die x-Achse
dM = 2πf(x) √ 1+(f ′ (x)) 2 dx.
• Linienelement für die Bogenlänge der Kurve
ds = √ 1+(f ′ (x)) 2 dx.