Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

6.2. Das bestimmte Integral 141
Wenn wir eine andere Stammfunktion von f gewählt hätten, zum Beispiel F(x) = x2
2 + 3,
hätten wir nochmals die gleiche Antwort gefunden:
∫ 2
0
( )∣ x
2 ∣∣∣
2
xdx =
2 +3 =
0
( 2
2
2 +3 )
−
( 0
2
2 +3 )
= 2.
y
2
y = x
y
y = sin(x)
π
x
2
x
Abbildung 6.2.i: Zwei Flächeninhalte der Grösse 2
Beispiel 6.2.2. Dieses Mal suchen wir den Flächeninhalt unter der Kurve der Sinusfunktion
f(x) = sin(x) zwischen0undπ (vgl. Abblidung6.2.i). Wir wählendieStammfunktionF(x) =
−cos(x) und erhalten somit
∫ π
π
sin(x)dx = −cos(x)
∣ = (−cos(π))−(−cos(0)) = 1−(−1) = 2.
Aufgaben
0
Aufgabe 6.2.1. Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale.
a.
b.
c.
∫ 3
0
∫ 2π
π
∫ 2π
0
x 2 dx
sin(x)dx
sin(x)dx
0
d.
e.
f.
∫ t
π
4
∫ x
1
∫ s
2
1
cos 2 (x) dx
(q 3 +6q 2 −2q +7)dq
1
s ds
Aufgabe 6.2.2. Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = x 3 + 5x − 4, deren Kurve
durch den Punkt P(2,8) geht.
Aufgabe 6.2.3. Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale.
a.
b.
c.
d.
∫ 1
−2
∫ π
0
∫ 2
1
∫ x2
(2−4x)dx
(sin(x)−5)dx
tcos(ϕ)dt
x 1
abπdt
e.
f.
g.
∫ π
2
π
4
∫ a
0
∫ 0.1
1
1+sin 2 (x)
sin 2 (x)
3e x dx
1
v dv
dx