Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

426 Anhang A. Anwendungen
A.3 Fraktale
Definition A.3.1. Ein Fraktal ist ein von Benoit Mandelbrot (1977) geprägter Begriff 3 , der
alle natürlichen oder künstlichen Gebilde oder Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von
Selbstähnlichkeit aufweisen.
Abbildung A.3.i: Benoit Mandelbrot, 1924-2010
Benoit Mandelbrot (1924-2010) benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach
FelixHausdorffundstelltefest,dassfraktaleGebildealsRäume(odermathematischeGebilde)
mit einer nicht-ganzzahligen Dimension angesehen werdenkönnen. Daher wirdnach ihm alles,
was eine gebrochene Dimension aufweist, als Fraktal bezeichnet. In Mandelbrots Worten:
A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension
”
strictly exceeds the topological dimension.“
Mit modernen Computeralgebraprogrammen wie Maple, Mathcad, Mathematica oder Matlab
lassen sich relativ einfach solche Fraktale erzeugen. Alle Bilder sind mit Matlab 6.5 generiert
worden. Sie können den Programmcode für Matlab oder Mathcad von meiner Webseite
http://www.fhnw.ch/personenseiten/marcel.steiner/ herunter laden.
A.3.1 Polygone im Kreis
Gegeben sei ein Kreis mit Radius r 0 . Diesem wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben.
Danach wird dem Dreieck ein Kreis einbeschrieben, dieser habe Radius r 1 . Dem Kreis wiederum
wird nun ein gleichseitiges Viereck und diesem ein Kreis einbeschrieben, dieser habe
Radius r 2 . Nun fahren wir so fort: Kreis → gleichseitiges n-Eck → Kreis → gleichseitiges
(n+1)-Eck und so weiter. Es stellt sich die Frage nach der Grösse des Verhältnis
r n
lim .
n→∞ r 0
Ist dieses ungleich null und wenn ja, wie gross ist es? Wir erhalten die rekursive Formel
( ) π
r n+1 = r n cos wobei n ∈ N 0
n+3
3 aus dem lateinischen adjektiv fractus; von dem lat. Verb frangere: in Stücke zerbrechen, irregulär