Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

19.3. Variablensubstitution in einem Mehrfachintegral 325
dann gilt
∫∫∫ ∫∫∫
f(x,y,z)dxdyz =
D
D
f(φ(u,v,w),ψ(u,v,w),θ(u,v,w))J(u,v,w)dudvdw.
Im Folgenden betrachten wir die drei meist verwendeten Substitutionen:
Polarkoordinaten
Es sei P(x,y) ein Punkt in der Ebene, welcher in kartesischen Koordinaten ausgedrückt ist.
Dann lautet die Substitution zu Polarkoordinaten
x = rcos(ϕ),
y = rsin(ϕ).
Es bezeichnen r den Abstand des Punktes P zum Ursprung; und ϕ den Azimutwinkel, d.h.
der Winkel zwischen dem Ortsvektores −→ 0P und der x-Achse (vgl. Abb. 19.3.i). Damit folgt
r ∈ [0,∞[ und ϕ ∈ [0,2π[.
Nach einiger Rechnung erhalten wir für die Funktionaldeterminante
( ) cos(ϕ) −rsin(ϕ)
J(r,ϕ) = det
= rcos 2 (ϕ)+rsin 2 (ϕ) = r ≠ 0.
sin(ϕ) rcos(ϕ)
Also folgt
∫∫
D
∫∫
f(x,y)dxdy =
D
f(rcos(ϕ),rsin(ϕ))rdrdϕ.
Die Funktionaldeterminante J(r,ϕ) = r lässt sich auch grafisch herleiten. Dies wollen wir nun
mit Hilfe von Abb. 19.3.i tun.
y
r = r(ϕ)
∆r
r∆r∆ϕ
r
r∆ϕ
∆ϕ P(x,y)
ϕ
x
Abbildung 19.3.i: Das Flächenstück im Kreisring mit den Radien r + ∆r und r hat den
Flächeninhalt ∆F = π((r+∆r) 2 −r 2 ) ∆ϕ
2π = r∆r∆ϕ+ 1 2 ∆r2 ∆ϕ ≈ r∆r∆ϕ. Damit ergibt sich
das Flächendifferenzial bei einer Variablensubstitution beim Übergang von kartesischen- zu
Polarkoordinaten, da der Term 1 2 ∆r2 ∆ϕ, wegen dem quadratischen ∆r 2 im Grenzübergang
∆r → 0 und ∆ϕ → 0 vernachlässigbar ist.