Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

390 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Einsetzen in die Differenzialgleichung liefert uns
(Ax+2A+B)e x +2(Ax+A+B)e x −3(Ax+B)e x ,= e x
und nach Division mit e x ≠ 0 erhalten wir die Gleichung
Ax+2A+B +2(Ax+A+B)−3(Ax+B) = 1.
Diese Gleichung muss natürlich für alle x gelten.
Der Koeffizientenvergleich von x 1 ergibt A+2A−3A = 0.
Der Koeffizientenvergleich von x 0 ergibt 2A+B +2A+2B−3B = 1.
Die Lösung ergibt A = 1 4
Differenzialgleichung
und B ∈ R beliebig. Somit lautet die partikuläre Lösung der
y p (x) =
( 1
4 x+B )
e x ,
wobei B ∈ R eine beliebige Konstante ist. Nun können wir die allgemeine Lösung der
homogenen Differenzialgleichung mit Hilfe des Superpositionsprinzip (vgl. Satz 21.10.1)
zusammensetzen.
( ) ( )
1 1
y(x) = y h (x)+y p (x) = C 1 e x +C 2 e −3x +
4 x+B e x =
4 x+a e x +be −3x
wobei a = B +C 1 und b = C 2 zu neuen Konstanten zusammengefasst wurden.
Eine andere, wesentlich aufwändigere, aber dafür immer funktionierende Methode zur Auffindung
einer partikulären Lösung bei Resonanz, als auch ohne Resonanz, ist die Variation
aller Konstanten der homogenen allgemeinen Lösung.
Wir werden dies hier am Beispiel der in Resonanz stehenden Eigenfunktion durchführen.
Unser Ansatz lautet
y p (x) = C(x)e x ,
wobei C die zu variierende Funktion ist. Also folgt
y ′ p(x) = C ′ (x)e x +C(x)e x ,
y ′′
p (x) = C′′ (x)e x +2C ′ (x)e x +C(x)e x .
Einsetzen in die Differenzialgleichung y ′′ +2y ′ −3y = e x liefert
C ′′ (x)e x +2C ′ (x)e x +C(x)e x +2C ′ (x)e x +2C(x)e x −3C(x)e x = e x .
Nach Division mit e x ≠ 0 erhalten wir die inhomogene lineare Differenzialgleichung zweiter
Ordnung
C ′′ +4C ′ = 1,
die auf eine Differenzialgleichung erster Ordnung zurückführbar ist (vgl. Kapitel 21.11). Wir
substituieren u = C ′ , dann erhalten wir die Differenzialgleichung u ′ +4u = 1 mit der Lösung
derhomogenenDifferenzialgleichung u h (x) = Ae −4x ,wobeiA ∈ ReineKonstanteist.Füreine
partikuläreLösungder inhomogenen Differenzialgleichung machen wirdenAnsatz u p (x) = B,