Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

34 Kapitel 3. Grenzwerte
Obwohl die Glieder der Zahlenfolge immer kleiner werden, bleiben sie grösser als 1, da der
Zähler stets um 1 grösser ist als der Nenner. Mit wachsendem n wird aber die Differenz
∣ an −1 ∣ ∣ =
∣ ∣∣∣ n+1
n −1 ∣ ∣∣∣
= 1 n
beliebig klein. Anders gesagt hat die Zahlenfolge den Grenzwert
lim a n = 1.
n→∞
Beispiel 3.1.2. Die Zahlenfolge 1,−1,1,−1,1,... ist divergent. Wegen dem Vorzeichenwechsel
wird eine solche Folge alternierend genannt.
ist eine Nullfolge, das heisst, sie kon-
Beispiel 3.1.3. Die Folge der Zahlen a n = (−1) n 1 n
vergiert gegen 0.
Beispiel 3.1.4. Die Zahlenfolge (a n ) n∈N , deren n-tes Glied durch die Formel
a n = 2n für alle n ∈ N
gegeben ist, konvergiert gegen keine Zahl, das heisst, sie ist divergent. Gleichwohl können wir
eine Aussage über das Verhalten ihrer Glieder bei grossem n machen: Für jede positive Zahl
C gibt es einen Index n 0 , so dass
Wir schreiben
a n > C für alle n > n 0 .
lim a n = ∞
n→∞
und sagen, die Zahlenfolge habe einen uneigentlichen Grenzwert.
Oft können Grenzwerte erst nach einiger Umformung bestimmt werden, wie es in den folgenden
Beispielen der Fall ist.
Beispiel 3.1.5. Es sei
a n = n
2n+1
für alle n ∈ N.
Dividieren wir Zähler und Nenner durch n, erhalten wir
a n = 1
2+ 1 n
−→ 1 2
für n → ∞,
das heisst, die Zahlenfolge (a n ) n∈N hat den Grenzwert 1 2 .
Beispiel 3.1.6. Dieses Mal werden Zähler und Nenner durch n 2 dividiert:
2n 2 −n+1 2− 1 n
lim
n→∞ n 2 = lim
+ 1 n 2
+1 n→∞ 1+ 1 = 2
n 2