Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

432 Anhang A. Anwendungen
wobeix 0 ,y 0 ∈ RIntegrationskonstanten sind,diedasZentrumderKurvebei(x 0 ,y 0 )festlegen.
Durch eine Variablensubstitution und Setzung von (x 0 ,y 0 ) = (0,0) und ϕ 0 = 0 erhalten wir
die in der Literatur übliche Darstellung der Klothoidenparametrisierung (vgl. [3] Seite 109)
x(t) = a √ π
∫ t
0
cos( π
2 t2) dt und y(t) = a √ π
∫ t
0
sin( π
2 t2) dt.
Die Integrale können nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden und müssen
deshalb durch numerische Integration für jeden Parameter berechnet werden. Dies erlaubt
die grafische punktweise Darstellung. Die Klothoide ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Im
Ursprunghat dieKlothoide einen Wendepunkt. Die Tangente ist im Wendepunktdie x-Achse.
√
Betrachten wir nun, nach einer erneuten Variablensubstitution t =
lim x(t) = lim a√ π
t→∞ t→∞
lim y(t) = lim a√ π
t→∞ t→∞
∫ t
0
∫ t
0
( π
cos
2 t2) dt = √ a ∫ ∞
2
( π
sin
2 t2) dt = √ a ∫ ∞
2
undanalogfürt → −∞.Sosehenwir,dassdieKlothoidebeiA( a√ π
einen asymptotischen Punkt hat.
0
0
2
π
cos(τ)
√ τ
dτ = a√ π
2 ,
sin(τ)
√ τ
dτ = a√ π
2
2 , a√ π
√ τ, die Grenzwerte
5
2 )undB(−a√ π
2 ,−a√ π
2 )
A
B
Abbildung A.4.i: Die Klothoide mit a = 1 und (x 0 ,y 0 ) = (0,0), ϕ 0 = 0.
Die Klothoide findet zum Beispiel beim Strassen- und Eisenbahnbau Anwendung, wo der
Übergang von einer Geraden in eine Kreiskurve durch einen Klothoidenabschnitt vermittelt
wird. Der Klothoidenabschnitt zeichnet sich durch eine veränderliche Krümmung aus.
Der Grund für die Verwendung von Klothoidenabschnitten liegt in der Fahrdynamik. Beim
Befahren eines Bogens tritt eine Radialbeschleunigung des Fahrzeuges auf, welche von der
Geschwindigkeit und der Krümmung des Bogens abhängt. Durch das Einfügen eines Klothoidenabschnitt
zwischen einer Gerade und einem Kreis wird ein sprunghafter Wechsel der
Radialbeschleunigung vermieden.
5 Wir benutzen dabei die uneigentlichen Integrale
∫ ∞
∫
cos(x) ∞
√
sin(x) π
√ dx = √ dx =
x 0 x 2
0
(vgl. [3], Integral (21.32)), welche in unserem Analysis Kurs nicht hergeleitet werden.