Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

344 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
Somit ist ⃗ F ein Potenzialfeld. Wie heisst das dazugehörige Potenzial? Wir haben also die
partielle Differenzialgleichung
∂W
(x,y) = xy2 und
∂x
∂W
∂y (x,y) = x2 y
zu lösen. Zuerst integrieren wir die erste Gleichung ∂W
∂x (x,y) = xy2 nach x und erhalten
∫
W(x,y) = xy 2 dx = x2 y 2
+ϕ(y),
2
wobei ϕ eine nur von der Variable y abhängige, noch zu bestimmende Funktion ist. Nun
differenzieren wir die erhaltene Stammfunktion W(x,y) = x2 y 2
2
+ ϕ(y) partiell nach y und
erhalten
F 2 (x,y) = x 2 y = ∂W
∂y = x2 y +ϕ ′ (y),
also folgt unmittelbar, dass ϕ ′ (y) = 0 und somit ϕ(y) = C, wobei C ∈ R eine beliebige
Konstante ist. Damit haben wir ein Potenzial
W(x,y) = x2 y 2
+C,
2
gefunden. Also ist das Linienintegral von (x 1 ,y 1 ) = (0,0) bis (x 2 ,y 2 ) = (1,1) vom Weg
unabhängig
∫ (1,1)
(0,0)
dW = W(1,1)−W(0,0) = 1 2 .
Beispiel 20.3.2. Wir betrachten das ebene Feld
( ) 2xy ⃗F(x,y) =
x 2 y 2
und fragen uns, ob es sich um ein Potenzialfeld handelt oder nicht. Also identifizieren wir
F 1 (x,y) = 2xy und F 2 (x,y) = x 2 y 2 . Nun testen wir die Bedingung von Schwarz
∂F 1
∂y (x,y) = 2x und ∂F 2
∂x (x,y) = 2xy2 .
Somit ist ⃗ F kein Potenzialfeld. Würden wir gleichwohl wie oben weiterfahren, dann ergäbe
sich die partielle Differenzialgleichung
∂W
∂x (x,y) = 2xy und ∂W
∂y (x,y) = x2 y 2 .
Zuerst integrieren wir die erste Gleichung ∂W
∂x
= 2xy nach x und erhalten
∫
W(x,y) = 2xydx = x 2 y +ϕ(y),
wobei ϕ eine nur von der Variable y abhängige, noch zu bestimmende Funktion ist. Nun
differenzieren wir die erhaltene Stammfunktion W(x,y) = x 2 y + ϕ(y) partiell nach y und
erhalten
F 2 (x,y) = x 2 y 2 = ∂W
∂y (x,y) = x2 +ϕ ′ (y),
also würde ϕ ′ (y) = x 2 y 2 −x 2 folgen. Dies ist aber ein Widerspruch, da ϕ nur eine Funktion
von y ist.