Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

228 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Aufgabe 11.3.18. Berechnen Sie das bestimmte Integral
I =
∫ 9
3
4
γ 3 +γ dγ.
Aufgabe 11.3.19. Berechnen Sie die Stammfunktion
∫
F(ξ) =
ξ 2
ξ 4 −1 dξ.
Aufgabe 11.3.20. Berechnen Sie die Stammfunktion
∫
F(x) =
dx
x 4 +1 .
Aufgabe 11.3.21. Berechnen Sie die Stammfunktion des Partialbruchs vierter Art
Lösungen
∫
F(x) =
3x−4
(x 2 +x+1) 3dx.
Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
(
Lösung 11.3.13. F(x) = −x 3 + x2
2 −2x+ 1 2 ln(x2 +2x+3)− √ 1 2
arctan x+1 √
2
)+C
Lösung 11.3.14. F(s) = ln(s 2 +4)+ 5 2 ln(|s+1|)− 1 2 ln(|s−1|)+ 1 2 arctan(s 2 )+C
( ) ( (
Lösung 11.3.15. F(w) = 1 4 ln t 2 +t+1
+ 1
t 2 −t+1 2 √ arctan 2t−1 √
3 3
)+ 1
2 √ arctan 2t+1 √
3 3
)+C
Lösung 11.3.16. F(x) = − 1
2(x−1) 2 − 5
2(x−1) − 3 2 ln(|x−1|)+ 3 4 ln(x2 +1)−arctan(x)+C
Lösung 11.3.17. I = 0.8356
Lösung 11.3.18. I = 0.1862
(∣ )
Lösung 11.3.19. F(ξ) = 1 2 arctan(ξ)+ 1 ∣∣
4 ln ξ−1
∣ +C
Lösung 11.3.20. Das Nennerpolynom lässt sich in zwei reelle Polynome zweiten Grades
faktorisieren x 4 +1 = (x 2 + √ 2x+1)(x 2 − √ 2x+1), also folgt
(
F(x) = 1
4 √ 2 ln x 2 + √ 2x+1
x 2 − √ 2x+1
)
ξ+1
+ 1
2 √ 2 arctan(√ 2x+1)+ 1
2 √ 2 arctan(√ 2x−1)+C.
Lösung 11.3.21. F(x) = − 1 6
11x+10
(x 2 +x+1)
− 11 2x+1
2 6 x 2 +x+1 − 22 9
√
3arctan
(
2x+1 √
3
)+C