Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.13. Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 385
3. Diskriminante b 2 − 4ac < 0, dann sind k 1 und k 2 komplex konjugiert und verschieden:
Es seien
k 1 = ρ+iω und k 2 = ρ−iω
die beiden komplex konjugierten Nullstellen der charakteristischen Gleichung, wobei
ρ = − b
√
4ac−b 2
und ω =
2a 2a
wir setzen. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lässt sich dann folgendermassen
aus der komplexen Form in eine reelle Form umschreiben.
y(x) = C 1 e (ρ+iω)x +C 2 e (ρ−iω)x
= C 1 e ρx+iωx +C 2 e ρx−iωx
= e ρx( C 1 e iωx +C 2 e −iωx)
= e ρx (C 1 (cos(ωx)+isin(ωx))+C 2 (cos(ωx)−isin(ωx)))
= e ρx ((C 1 +C 2 )cos(ωx)+i(C 1 −C 2 )sin(ωx)).
Damit erhalten wir mit Satz 21.12.3 die zwei linear unabhängigen reellen Lösungen
y 1 (x) = e ρx sin(ωx) und y 2 (x) = e ρx cos(ωx).
Daraus folgt mit Satz 21.12.2, dass auch eine Linearkombination Lösung ist. Also ist
die allgemeine Lösung.
Beispiel 21.13.3. Die Differenzialgleichung
y(x) = e ρx (Asin(ωx)+Bcos(ωx))
y ′′ +4y ′ +13y = 0
hat die charakteristische Gleichung k 2 +4k+13 = 0 mit den konjugiert komplexen Lösungen
k 1 = −2+3i und k 2 = −2−3i. Also erhalten wir die allgemeine Lösung in der komplexen
Schreibweise
y(x) = C 1 e (−2+3i)x +C 2 e (−2−3i)x
oder in der reellen Schreibweise
y(x) = e −2x (Asin(3x)+Bcos(3x))
wobei A,B ∈ R noch zu bestimmende Konstanten sind.
Zusammenfassung:
Allgemein lösen wir eine homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
in vier Schritten.
ay ′′ +by ′ +cy = 0.