Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

202 Kapitel 11. Integrationsmethoden
• Ist b 2 − 4ac < 0, dann kommt die Substitution z = √ 2ax+b
√ , also dx = 4ac−b 2
4ac−b 2 2a
dz zur
Anwendung
∫
∫
dx
ax 2 +bx+c = 4a dx
4ac−b 2 ( 2
√ 2ax+b
4ac−b 2)
+1
√ ∫
4a 4ac−b 2 dz
=
4ac−b 2 2a z 2 +1
( )
2 2ax+b
= √ arctan √ +C
4ac−b 2 4ac−b 2
• Ist b 2 −4ac = 0, dann kommt die Substitution z = x+ b
2a
, also dx = dz zur Anwendung
∫
dx
ax 2 +bx+c = 1 ∫
dx
( )
a x+
b 2
= 1 ∫ dz
a z 2 = − 2
2ax+b +C
2a
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist. Diese Integrale spielen eine wichtige Rolle bei der
Integration von Partialbrüchen dritter Art (vgl. Kapitel 11.3).
Aufgaben
Aufgabe 11.1.17. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
∫
a. x 2√ ∫ arsinh(4x)
6x 3 −5dx
d. √
16x 2 +1 dx
b.
c.
∫ 1
e x
x 2 dx
∫
e sin(z) cos(z)dz
e.
f.
∫
∫
3r 2
√
2−r 3 dr
αcos(α 2 )dα
Aufgabe 11.1.18. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.
a.
b.
c.
∫ √ 2
0
∫ 2
1
∫ 4
2
x
√
2+x
2 dx
x−1
√
x 2 −1 dx f.
d.
coth 2 (ϕ)
cosh(ϕ) dϕ
e.
∫ 2
0
∫ −1
0
∫ π 2
9
0
cosh 2 (u)sinh(u)du
u 2
2−3u 3 du
sin( √ x)
√ x
dx
Aufgabe 11.1.19. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, a ∈ R fest.
∫
∫
a. cot(ω)dω
d. coth(1−4x)dx
∫
e x
∫
b.
e x +a dx
x
e.
a 2 +x 2 dx
∫ sin 5 (t)
c.
cos 7 (t) dt