Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

416 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
s
1
1
t
Abbildung 22.4.vi: Die graue Kurve ist die gedämpfte Eigenschwingung des Systems mit
R = 0.3,ϕ = 60 ◦ und Dämpfungsgrad D = 0.4. Die schwarze Kurve zeigt die erzwungene
Schwingung mit ω 1 = ω r (Resonanzfall) und K = 0.4. Es ist auch die Phasenverschiebung ψ
schön sichtbar. Die maximale Amplitude K max = 2.5 ist zwar gross aber noch nicht unendlich,
da D > 0.
Aufgabe 22.4.2. Betrachten Sie die durch folgende inhomogene Differenzialgleichung erzwungene
Schwingung
¨s+2ṡ+50s = 10cos(ω 1 t).
Wie gross wird die maximale Amplitude im Dauerzustand und für welche Störfrequenz wird
sie angenommen? Führen Sie alle Rechnungen durch.
Aufgabe 22.4.3. Ein an einer Feder mit Federkonstante κ 0 aufgehängter Körper mit der
Masse m wird dadurch zum Schwingen gebracht, dass wir ihn um die Strecke s 0 nach unten
aus der Ruhelage ziehen und dann loslassen. Welche Schwingungen führt er aus, wenn die
Reibung vernachlässigt wird?
Lösungen
Lösung 22.4.1.
a. s(t) = e −3t (Asin(t)+Bcos(t))+ 1 5 sin(2t)+ 1
10 cos(2t)
b. s(t) = Re −3t sin(t+ϕ)+ 1
2 √ 5 sin(2t+ψ) mit ψ = arctan(1 2 )
c. s p (t) = e −3t (2.3sin(t)+0.9cos(t))+ 1 5 sin(2t)+ 1
10 cos(2t)
d. K = 1
2 √ 5 und ψ = arctan(1 2 ) ≈ 0.4636
Lösung 22.4.2. K max = 5 7 und ω 1 = ω r = 4 √ 3
( )
Lösung 22.4.3. s(t) = g
−s
ω0
2 0 cos(ω 0 t)− g
ω0
2
mit ω 0 = √ κ 0
m