Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.13. Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 383
21.13 Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Für die homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
ay ′′ +by ′ +cy = 0
mit a,b,c ∈ R und a ≠ 0 gilt ein universeller Ansatz
y(x) = e kx wobei k ∈ C.
Der (komplexe) Faktor k ist so zu bestimmen, dass
ay ′′ +by ′ +cy = ak 2 e kx +bke kx +ce kx = 0.
Nun dividieren wir obige Gleichung durch e kx ≠ 0 und erhalten die so genannte charakteristische
Gleichung der Differenzialgleichung
mit den Lösungen
k 1 = −b+√ b 2 −4ac
2a
ak 2 +bk+c = 0
und k 2 = −b−√ b 2 −4ac
.
2a
Die Lösungen k 1 und k 2 der charakteristischen Gleichung ergeben maximal zwei Lösungen
y 1 (x) = e k 1x
und y 2 (x) = e k 2x
der Differenzialgleichung ay ′′ +by ′ +cy = 0. Nach Satz 21.12.2 sind y(x) = C 1 e k 1x +C 2 e k 2x
mit C 1 ,C 2 ∈ C auch Lösungen. Wenn k 1 ≠ k 2 , dann ist dies sogar die allgemeine Lösung, weil
wir genau zwei beliebige Konstanten zur Wahl haben. Ist aber k 1 = k 2 , dann haben wir nur
eine Lösung gefunden und müssen für die zweite noch etwas arbeiten. Wir sehen also bereits
hier, dass wir eine Fallunterscheidung der Diskriminante b 2 −4ac machen müssen.
1. Diskriminante b 2 −4ac > 0, dann sind k 1 und k 2 reell und verschieden:
In diesem Fall erhalten wir unmittelbar die allgemeine Lösung
y(x) = C 1 e k 1x +C 2 e k 2x
mit C 1 ,C 2 ∈ R.
Beispiel 21.13.1. Wir betrachten die Differenzialgleichung
Die charakteristische Gleichung ist dann
2y ′′ −5y ′ −3y = 0.
2k 2 −5k −3 = 0
mit den zwei reellen unterschiedlichen Lösungen k 1 = 3 und k 2 = − 1 2
. Somit lautet die
allgemeine Lösung
y(x) = C 1 e 3x +C 2 e −1 2 x mit C 1 ,C 2 ∈ R.