Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

308 Kapitel 17. Approximation mit minimalem quadratischen Fehler
der symmetrischen (m×m)-Matrix A und die Koeffizienten
b k =
n∑
y i f k (x i ), k ∈ {1,...,m}.
i=1
desStörvektors ⃗ bberechnenwirausdenKoordinatendergegebenenPunkte.Damit lassensich
nun die gesuchten Koeffizienten a 1 ,...,a m durch lösen des linearen Normalgleichungssystems
(17.2.c) berechnen. Bei grossem m geschieht dies mittels Computer. Damit ist das gegebene
Problem im Prinzip gelöst.
Beispiel 17.2.1. Eine Punktmenge sei durch eine Funktion der Form
f(x) = ax+bsin(x)
[x im Bogenmass]
im Gaussschen Sinne zu approximieren. Die folgenden 8 Punkte P 1 ,...,P 8 seien tabellarisch
gegeben
Wir minimieren
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x i 0 1 2 3 4 5 6 7
y i 0.0 0.2 1.1 2.9 4.8 6.0 6.3 6.3
S(a,b) =
8∑
(ax i +bsin(x i )−y i ) 2 ,
i=1
dazu berechnen wir die ersten partiellen Ableitungen
S a (a,b) = 2
S b (a,b) = 2
8∑
(ax i +bsin(x i )−y i )x i = 0,
i=1
8∑
(ax i +bsin(x i )−y i )sin(x i ) = 0.
i=1
Dies ergibt das lineare Gleichungssystem 2 mit zwei Gleichungen für die zwei unbekannten
Koeffizienten a und b.
8∑ 8∑ 8∑
ax 2 i + bx i sin(x i ) = y i x i ,
oder
a
i=1
8∑
ax i sin(x i )+
i=1
a
i=1
8∑
bsin 2 (x i ) =
i=1
8∑ 8∑
x 2 i +b x i sin(x i ) =
i=1
8∑
x i sin(x i )+b
i=1
i=1
8∑
sin 2 (x i ) =
i=1
i=1
8∑
y i sin(x i )
i=1
8∑
y i x i ,
i=1
8∑
y i sin(x i ).
i=1
(17.2.d)
2 Dieses lineare Gleichungssystem hätte sich auch direkt aus dem linearen Normalgleichungssystem (17.2.a)
durch Einsetzen von n = 8, m = 2 und a 1 = a, a 2 = b und f 1(x) = x, f 2(x) = sin(x) ergeben.