Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

190 Kapitel 10. Volumen, Oberflächen- und Bogenlängenberechnungen
y
R
•
h
q(x)
•
Q
0
x P
•
r
α
r
2r
x
Abbildung 10.1.iii: Volumeninhalt eines Zylinderabschnitts bei gegebenem Radius r und Neigungswinkel
α.
Beispiel 10.1.4. Wir berechnen das Volumen eines Zylinderabschnitts. Dabei seien der Radius
r und der Neigungswinkel α gegeben (vgl. Abbildung 10.1.iii).
Wir bestimmen die Querschnittsflächenfunktion q in Abhängigkeit der Abszisse x. Es ist
q(x) = 1 2 PQQR
mit PQ = √ r 2 −(r −x) 2 = √ 2rx−x 2 und QR = PQtan(α). Damit ergibt sich
q(x) = 1 2√
2rx−x
2 √ 2rx−x 2 tan(α) = 1 2 (2rx−x2 )tan(α)
für die Querschnittsflächenfunktion, und für das Volumen haben wir
V Zylinderabschnitt = 1 ∫ 2r
2 tan(α) (2rx−x 2 )dx = 1 ( )∣
0 2 tan(α) rx 2 − x3 ∣∣∣
2r
3
0
= 1 (
2 tan(α) 4r 3 − 8 )
3 r3 = 2 3 r3 tan(α) = 2 3 r2 h,
wobei wir h = rtan(α) benutzt haben.
Aufgaben
Aufgabe 10.1.15. Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide der Höhe h, deren Grundfläche
ein regelmässiges Sechseck mit der Seitenlänge s ist.
Aufgabe 10.1.16. Bestimmen Sie das Volumen eines Ellipsoids, dessen Hauptachsen in x-,
y- und z- Richtung die Längen a, b und c haben. Berechnen Sie dann den Spezialfall r = a =
b = c.