Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

2.5. Polynomfunktionen zweiten Grades 21
y
S( 3 4 , 1 8 )
1
2
•
1
x
−1
Abbildung 2.5.i: Der Graf y = −2x 2 +3x−1
und damit folgt
(
a x+ b ) 2
= − 4ac−b2
2a 4a
(
x+ b ) 2
= b2 −4ac
2a 4a 2
x+ b
√
b
2a = ± 2 −4ac
4a 2
= b2 −4ac
4a
= ±√ b 2 −4ac
.
2a
Damit erhalten wir die uns bekannte Formel zum Aufsuchen der Nullstellen einer Polynomfunktion
zweiten Grades
x 1 = −b+√ b 2 −4ac
2a
und x 2 = −b−√ b 2 −4ac
. (2.5.a)
2a
WenndieDiskriminanteb 2 −4acgleichNullist,dannbesitztdieFunktionf(x) = ax 2 +bx+c
die doppelte Nullstelle x 0 = − b
2a ; wenn b2 − 4ac negativ ist, dann besitzt die Funktion
f(x) = ax 2 +bx+c keine reellen Nullstellen, sondern zwei komplexe Nullstellen.
Aufgaben
Aufgabe 2.5.1. Bestimmen Sie den Grafen der folgenden Funktionen. Geben Sie für jede
Funktion den maximal möglichen Definitionsbereich und den Wertebereich an.
a. f(x) = 3x 2 −3x− 5 4
b. f(x) = −x 2 −6x−5
c. f(x) = 1 3 x2 − 4 3 x+1
Aufgabe 2.5.2. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und den Grafen der Parabel
wobei c eine konstante reelle Zahl ist.
f(x) = x2
2 −cx+ c2 −2c
,
2