Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 18
Extremwerte mit
Nebenbedingungen
In Kapitel 16 haben wir uns mit Extremstellen bei mehreren unabhängigen Variablen befasst.
Die unabhängigen Variablen waren im Allgemeinen keinerlei Einschränkungen unterworfen.
In vielen Anwendungen sieht die Situation aber anders aus, d.h., die unabhängigen Variablen
sind so genannten Nebenbedingungen unterworfen. Zum Beispiel müssen wir bei gegebenem
Volumen die Oberfläche eines Quaders minimieren, indem wir die idealen Kantenlängen bestimmen.
Abbildung 18.0.ii: Joseph Louis Lagrange, 1736-1813
In diesem Kapitel werden wir nun eine elegante Methode kennen lernen, die es uns erlaubt,
auch bei komplizierteren Nebenbedingung gewisse Funktionen zu minimieren oder maximieren.
Die vorgestellte Methode geht auf Joseph Louis Lagrange, 1736-1813, zurück (vgl. Abbildung
18.0.ii).
18.1 Motivation
Beispiel 18.1.1. Es sei V das gegebene Volumen eines Quaders. Wie sind die Kantenlängen
a, b und c zu wählen, damit die Oberfläche des Quaders minimal wird (vgl. Aufgabe 16.2.5)?
Das Volumen ist durch V(a,b,c) = abc und die Oberfläche durch
O(a,b,c) = 2ab+2bc+2ca
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