Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

126 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
Die Nullstelle x 3 = (a+b)+√ (a+b) 2 −3ab
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≥ b 2 ist nicht im Intervall [ 0, b 2]
, deshalb kann sie aus
konstruktiven Gründen weggelassen werden. Nun leiten wir ein zweites Mal ab, um zu testen,
ob bei x 4 das maximale Volumen entsteht
V ′′ (x) = −4(a+b)+24x.
Es ist V ′′ (x 4 ) = −4 √ (a+b) 2 −3ab < 0. Also handelt es sich bei x 4 = (a+b)−√ (a+b) 2 −3ab
6
um
die gesuchte Maximumstelle. Das maximale Volumen beträgt demzufolge V(x 4 ).
Aufgaben
Aufgabe 5.5.1. Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der folgenden Funktionen
durch.
a. f(x) = x 3 −6x 2 +9x−4
b. f(u) = u 4 −16u 2
c. f(x) = x 2 +2|x+2|+4
d. f(t) = −2t
(t−1) 2
e. f(x) = (x−2)2
(x+2) 2
f. f(x) =
1
√
4−x 2
Aufgabe 5.5.2. Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der folgenden Funktionen
durch.
a. f(t) = ln(t)
t
b. f(x) = x 2 ln(x)
c. f(ϕ) = ln(ϕ)
ϕ 2
d. f(x) = ex
x 2
e. f(x) = e −x2
Aufgabe 5.5.3. BestimmenSiedieExtremstellen,ExtremwerteunddieArtderExtremwerte
der folgenden Funktionen.
a. f(x) = √ 1+x+ √ 1−x
b. f(x) =
x
(x−a)(x−b)
wobei ab > 1
Aufgabe 5.5.4. Eine Schwingungist gegeben durch s(t) = e sin(ωt) −1. Es sind die Zeitpunkte
mit extremaler Geschwindigkeit zu bestimmen.
Aufgabe 5.5.5. Bestimmen Sie die Polynomfunktion dritten Grades
mit einem Sattelpunkt bei P(2,2).
f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c