Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.12. Ableitung impliziter Funktionen 89
Lösung 4.11.4.
a. f ′ −cot(T)
(T) =
2 √ g. f ′ 1
(x) =
−ln(sin(T))
xln(x)
b. f ′ n
(u) =
h. f ′ 4
(x) =
uln(10)
sin(4x)ln(tan(2x))
c. f ′ (t) = 1
1−t 2
i. f ′ (u) = 4(ln(u))3
u
d. f ′ −6
(x) =
ln(a)ln(b) · ln(x) j. f ′ (x) = 1
x
cos(x)
e. f ′ 1
k. f
(x) = √ ′ (x) = −cot 3 (x)
1+x 2
f. f ′ (τ) = 1 τ −tan(τ)
Lösung 4.11.5.
a. f ′ (t) =
b−a
(t+a)(t+b)
b. f ′ (x) = 2a
a 2 −x 2
c. f ′ 2
(x) =
x √ x 2 +1
d. f ′ (x) = 2k
sin(kx)
e. g ′ (γ) = 2
cos(γ)
Lösung 4.11.6.
a. 0 und 0 ◦ b. −3 und 108.43 ◦
Lösung 4.11.7. Im Punkt P(0,0) unter 90 ◦ und im Punkt P(1,1) unter 45 ◦ .
Lösung 4.11.8. Überall differenzierbar.
4.12 Ableitung impliziter Funktionen
Bis jetzt haben wir uns immer mit Kurven beschäftigt, die in der Form y = f(x) gegeben
wurden. In diesem Kapitel wenden wir uns an Kurven von so genannten impliziten Funktionen,
die durch eine Gleichung in zwei Variablen dargestellt werden. Ein nahe liegendes
Beispiel ist der Einheitskreis, der durch die Gleichung x 2 +y 2 = 1 beschrieben wird. In diesem
Fall können wir die Gleichung nach y auflösen, aber für andere implizite Funktionen ist dies
nicht möglich, wie zum Beispiel für die Kurve, die durch die Gleichung yx+cos(x +y) = 0
dargestellt wird. Stehen wir vor dem Problem, die Ableitung y ′ zu bilden, so müssen wir
eine neue Strategie entwickeln. Die Antwort besteht darin, die implizite Funktionsgleichung
gliedweise nach x zu differenzieren. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die Variable y
eine von x abhängige Grösse darstellt.