Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

28 Kapitel 2. Funktionen
Aufgabe
Aufgabe 2.10.1. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(x) = x2
10 , wobei
x = 1 und ∆x = 4, 2 und 1. Machen Sie eine Zeichnung der entsprechenden Sekanten.
Lösung
Lösung 2.10.1. Die Differenzenquotienten sind 0.6, 0.4 und 0.3. Die Sekanten werden in
Abbildung 2.10.ii dargestellt.
y
2.5
•
0.9
•
0.4
•
0.1
•
1
2
3
5
x
Abbildung 2.10.ii: y = x2
10
Beispiel 2.10.1. Im Weiteren leiten wir einen allgemeinen Ausdruck für den Differenzenquotienten
der Polynomfunktion zweiten Grades her. Es sei f(x) = ax 2 +bx+c, wobei a, b und
c konstante reelle Zahlen sind. Dann gilt
∆y = f(x+∆x)−f(x)
= a(x+∆x) 2 +b(x+∆x)+c−(ax 2 +bx+c)
= ax 2 +2ax∆x+a(∆x) 2 +bx+b∆x+c−ax 2 −bx−c
= 2ax∆x+a(∆x) 2 +b∆x
und somit
∆y
∆x = 2ax+a∆x+b.
Damit sind wir in der Lage, irgendeine Sekantensteigung bei einer Parabel zu bestimmen.
Beispiel 2.10.2. Wir betrachten die Funktion
f(x) = 2x 2 +3x−1 = 2
(
x+ 3 4) 2
− 17 8 .
Laut der obigen Berechnung ist die Sekantensteigung ihres Grafen ∆y
∆x
x = 1 erhalten wir die folgende Tabelle:
= 4x+2∆x+3. Für
∆x 1 0.1 0.01
∆y
∆x
9 7.2 7.02
σ 83.66 ◦ 82.09 ◦ 81.89 ◦