Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

214 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Beispiel 11.2.5. Wir betrachten das Integral
∫
I n (x) = sin n (x)dx,
wobei n ∈ N. Nun versuchen wir die Aufstellung:
u = sin(x) und v ′ = sin n−1 (x)
∫
u ′ = cos(x) und v = sin n−1 (x)dx
Diese Aufstellung bringt das zu lösende Problem schon bei der ersten partiellen Integration.
Also sind wir gezwungen eine andere Aufstellung zu versuchen:
u = sin n−1 (x) und v ′ = sin(x)
u ′ = (n−1)sin n−2 (x)cos(x) und v = −cos(x)
Dann ergibt sich
∫
I n (x) = sin n (x)dx
∫
= −cos(x)sin n−1 (x)+(n−1)
∫
= −cos(x)sin n−1 (x)+(n−1)
∫
= −cos(x)sin n−1 (x)+(n−1)
sin n−2 (x)cos 2 (x)dx
sin n−2 (x)(1−sin 2 (x))dx
∫
sin n−2 (x)dx−(n−1) sin n (x)dx
= −cos(x)sin n−1 (x)+(n−1)I n−2 (x)−(n−1)I n (x)
Nunlösen wirdieerhaltene Gleichung nach I n auf. Damit wirddas Integral I n auf das Integral
I n−2 (x) = ∫ sin n−2 (x)dx zurückgeführt. Wir erhalten die Rekursionsformel
und
∫
I 0 (x) =
I n (x) = − 1 n cos(x)sinn−1 (x)+ n−1
n I n−2(x) wobei n ≥ 2
∫
dx = x+C 0 und I 1 (x) =
sin(x)dx = −cos(x)+C 1 .
Dabei bezeichnen C 0 ,C 1 ∈ R Integrationskonstanten.
Anwendung der Rekursionsformel: Wir berechnen
∫
I 4 (x) = sin 4 (x)dx
= − 1 4 cos(x)sin3 (x)+ 3 ∫
sin 2 (x)dx
4
= − 1 4 cos(x)sin3 (x)+ 3 4
wobei C ∈ R eine Integrationskonstanten ist.
(
− 1 2 cos(x)sin(x)+ x 2
= − 1 4 cos(x)sin3 (x)− 3 8 cos(x)sin(x)+ 3 8 x+C
)
+C