Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

244 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Allgemeines Vorgehen
Um die Frage zu beantworten, ob die gegebene Reihe
∞∑
n=1
konvergiert oder divergiert haben wir nun fünf Kriterien zur Auswahl, die wir anwenden
können. Ein sinnvolles Vorgehen ist in nachfolgendem Diagramm dargestellt:
u n
Ist ∑ ∞
n=1 u n konvergent?
Ist lim n→∞ u n = 0 ?
nein
divergent
ja
Ist ∑ ∞
n=1 u n alternierend?
nein
ja
Konvergenzkriterium von Leibniz
Gibt Quotienten- oder Wurzelkriterium Antwort?
nein
Majoranten- oder Minorantenkriterium
Abbildung 12.3.v: Vorgehen zur Beantwortung der Frage, ob die Reihe ∑ ∞
n=1 u n konvergiert
oder divergiert.
12.4 Konvergenzverhalten der hyperharmonischen Reihe
Wir betrachten eine Verallgemeinerung der harmonischen Reihe, die so genannte hyperharmonischen
Reihe
∞∑ 1
n α,
wobei α ∈ R mit α > 0.
n=1
Satz 12.4.1 (Konvergenzverhalten der hyperharmonischen Reihe). Die hyperharmonische
Reihe
∞∑ 1
n α
n=1
ist konvergent für α > 1 und divergent für 0 < α ≤ 1.