Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

19.4. Berechnung von Trägheitsmomenten 329
Aufgabe 19.4.7. Bestimmen sie das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel vom Radius
r der Dichte ρ 0 bezüglich eines Durchmessers.
Aufgabe 19.4.8. Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Würfels konstanter Dichte ρ 0
mit Kantenlänge a = b = c = 2, der um eine seiner Diagonalen dreht.
Aufgabe 19.4.9. Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel mit der rotationssymmetrischen
Dichte
ρ(x,y,z) = √ x 2 +y 2 +z 2
vom Radius R = 1, die um einen Durchmesser dreht.
Lösungen
Lösung 19.4.1. I =
√
3
32 a4 µ 0
Lösung 19.4.2. I = abc
3 (a2 +b 2 )ρ 0
Lösung 19.4.3. Die Dichte ist der Quotient Masse m durch Volumen V, dannfolgt I z = m a2
2
und I x = m( h2
3 + a2
4 ).
Lösung 19.4.4. I z = π √
2
ρ 0 a 5
Lösung 19.4.5. Das Trägheitsmoment des Kegelstumpfes der Höhe l bezüglich der z-Achse
beträgt I z = πρ 0 l
10 R 2 −R 1
(R2 5 −R5 1 ).
Lösung 19.4.6. Sie brauchen keine weitere Integration durchzuführen, benutzen Sie das
Resultat aus Aufgabe 19.4.5. Das Trägheitsmoment ( des hohlen Kegelstumpfes ) der Höhe l
bezüglich der z-Achse beträgt I z = πρ 0 l
10 R 2 −R 1
(R2 5 −R5 1 )− l
r 2 −r 1
(r2 5 −r5 1 ) .
Lösung 19.4.7. Benutzen Sie Kugelkoordinaten x = rcos(ϕ)sin(ψ), y = rsin(ϕ)sin(ψ) und
z = rcos(ψ), dann wird dxdydz zu r 2 sin(ψ)drdϕdψ. Die Dichte ist der Quotient Masse m
durch Volumen V, also folgt das Trägheitsmoment einer Kugel I = 2 5 mr2 .
Lösung 19.4.8. Zentrieren Sie den Würfel im Ursprung mit den Kanten parallel zu den
Koordinatenachsen. Dann erhalten Sie das Trägheitsmoment I = 16
3 ρ 0.
Lösung 19.4.9. Benutzen Sie Kugelkoordinaten, dann folgt I = 1.396.