Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

240 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Satz 12.3.4 (Minorantenkriterium). Besitzt eine Reihe ∑ ∞
n=1 u n mit nichtnegativen Gliedern
u n eine divergente Minorante ∑ ∞
n=1 v n mit nichtnegativen Gliedern v n , so ist sie divergent.
Wie beim Majorantenkriterium genügt auch hier die Minoranteneigenschaft von einem bestimmten
Index i ab, da das Ändern von endlich vielen Gliedern am Konvergenzverhalten
nichts ändert.
Beispiel 12.3.6. Wir betrachten nun einige Anwendungen des Minorantenkriteriums.
a. Untersuche die Reihe
Da für alle n ∈ N gilt
∞∑
n=1
1
√ n
.
1
√ n
≥ 1 n
und die harmonische Reihe divergent ist, folgt, dass die Reihe ∑ ∞
n=1 1 √ n
divergent ist.
b. Untersuche die Reihe
Da für alle n ∈ {2,3,4,...} gilt
folgt, dass die Reihe ∑ ∞
n=2
1
log(n)
∞∑
n=2
1
log(n) .
1
log(n) > 1 n ,
divergent ist.
Hier sehen wir die Wichtigkeit der konvergenten geometrischen Reihe als häufig benutzte
Majorante und der divergenten harmonischen Reihe als häufig benutzte Minorante.
Quotienten- und Wurzelkriterium
Im Folgenden geben wir bequemere Kriterien an, um die Konvergenz einer Reihe zu testen.
Satz 12.3.5 (Quotientenkriterium von d’Alembert). Die Reihe ∑ ∞
n=1 u n mit u n ≠ 0 sei
gegeben.
a. Gilt
lim
n→∞
∣ u n+1∣∣∣
∣ < 1,
u n
so konvergiert die Reihe und zwar sogar absolut.
b. Gilt
lim
n→∞
∣ u n+1∣∣∣
∣ = 1,
u n
so kann nichts über die Konvergenz der Reihe ausgesagt werden.
c. Gilt
so divergiert die Reihe.
lim
n→∞
∣ u n+1∣∣∣
∣ > 1,
u n