Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

140 Kapitel 6. Integralrechnung
Lösungen
Lösung 6.1.1.
a.
x 6
6 −x3 +7x+C
b. − 1
2x 2 +C
c.
x 2
2 −5x− 2 x +C
3 3√
d.
4 x 4 +C
e.
7
3 x3 +C
5 5√
f.
3 x 3 +C
g.
1
5
√
t 5 − 12
5
6√
t 5 − 8 3 t−3 2 +C
√ √
1
h.
4 s4 + 12 7 s 7 +4s 3 + 16
5 s 5 +C
6 6√
i.
11 u 11 +C
j.
3
4√ v
3 √ u 4 +C
k.
m.
r 3
3 + 2r
ln(2) +C
l. −cos(x)−e −x +2e x −x+C
m 2
2 −ln(|m|)+C
n. aucos 2 (x)+C
6.2 Das bestimmte Integral
Jetzt kommen wir zur ursprünglichen Frage des letzten Kapitels zurück: Wie gross ist der
Flächeninhalt unter einer gewissen Kurve y = f(x) zwischen den Grenzen a und b? Finden
wir eine Stammfunktion F von f, können wir diese Frage beantworten. Wir wissen, dass
F(x) = F 0 (x)+C, wobei F 0 die Flächenfunktion
F 0 (x) = Flächeninhalt unter y = f(x) zwischen a und x, für alle x ∈ [a,b]
und C eine konstante reelle Zahl ist. Setzen wir x = a in diese Beziehung ein, erhalten wir
C = F(a). Der gesuchte Flächeninhalt ist damit F 0 (b) = F(b) −C = F(b) −F(a). Er wird
durch
∫ b
b
f(x)dx oder F(x)
∣
a
bezeichnet und bestimmtes Integral genannt. Anders ausgedrückt gilt
∫ b
a
b
f(x)dx = F(x)
∣ = F(b)−F(a).
Beispiel 6.2.1. Gesucht wird der Flächeninhalt unter der Kurve der Funktion f(x) = x
zwischen den Grenzen 0 und 2. In diesem Fall brauchen wir die oben entwickelte Theorie
eigentlich nicht, denn die Fläche ist ein einfaches Dreieck mit Flächeninhalt 1 2 · 2 · 2 = 2
(vgl. Abblidung 6.2.i). Wenden wir die Theorie an dieses Beispiel gleichwohl an, erhalten wir
selbstverständlich die gleiche Antwort: Wir wählen eine Stammfunktion F von f aus, zum
Beispiel F(x) = x2
2
. Dann ist der gesuchte Flächeninhalt
∫ 2
0
xdx = x2
2
∣
2
0
a
a
= 22
2 − 02
2 = 2.