Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.4. Rollkurven 431
A.3.4 Mengerwürfel
A.3.5 Mandelbrot und Juliamengen
A.4 Rollkurven
A.4.1 Katakaustik - Kaffeetasse
A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
A.4.3 Klothoide - Idealer Strassen- und Eisenbahnbau
Klothoide 4 heissteineKurve,diesichausderumgekehrtenProportionalitätihresKrümmungsradius
r zur Länge des Bogens s ergibt
r = a2
s ,
dabei ist a > 0 der Proportionalitätsfaktor. Wir suchen eine Parametrisierung (x(t),y(t)) der
Klothoide. Der Krümmungsradius der Kurve ist das Inverse der Krümmung k der Kurve (vgl.
Gleichung 5.6.b), also
Die Bogenlänge ergibt sich als Integral
r = 1 k = √ẋ2 +ẏ 23
ẋÿ −ẍẏ .
s(t) =
∫ t
0
√ẋ2 +ẏ 2 dt.
Damit erhalten wir die Differenzial-Integralgleichung der Parametrisierung
ẋÿ −ẍẏ
√ẋ2 = 1 ∫ t √ẋ2
+ẏ 23 a 2 +ẏ 2 dt.
Da jede Kurve nach Bogenlänge parametrisiert werden kann, machen wir den Ansatz ẋ(t) =
cos(ϕ(t)) und ẏ(t) = sin(ϕ(t)), wobei ϕ eine noch zu bestimmende Funktion ist. Unseren
Ansatz nach t differenziert,
ẍ(t) = sin(ϕ(t)) ˙ϕ(t) und ÿ(t) = cos(ϕ(t)) ˙ϕ(t)
und in die Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt
0
˙ϕ(t) = 1 a 2 ∫ t
0
dt = t
a 2.
Somit folgt ϕ(t) = t2 + ϕ
2a 2 0 , wobei ϕ 0 ∈ R eine Integrationskonstante ist, die die Drehlage
der Kurve festlegt. Wir erhalten eine allgemeine Parametrisierung der Klothoide
∫ t
( ) t
2
∫ t
( ) t
2
x(t) = x 0 + cos
2a 2 +ϕ 0 dt und y(t) = y 0 + sin
2a 2 +ϕ 0 dt,
0
4 Vom griechischen Verb κλώϑω (klotho), spinnen; ein in Drehung versetzter, aufgewickelter Faden nimmt
die Form einer Klothoidenkurve an.
0